Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Ցանկացած իրական ցուցիչով աստիճան

Այժմ անցնենք ցանկացած իրական դրական թվի ցանկացած b իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը։ Դիտարկման ենթարկենք a թվի b'' և b' ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանները՝

ab'' և ab',

որտեղ ցուցիչը բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

b''<b<b'

a>1 թվի b ցուցիչով աստիճան անվանում են (և նշանակում a^b սիմվոլով) այն իրական c թիվը, որը գտնվում է a^b'' և a^b' աստիճանների միջև՝

ab''<c<ab':

(Կարելի է սահմանափակվել այդ դեպքով, քանի որ a<1 դեպքում կարող ենք ընդունել, օրինակի համար, ab=(1/a)-b):

Հեշտ է համոզվել, որ այդպիսի թիվ միշտ գոյություն ունի։ Իրոք, ab'' թվերի բազմությունը վերևից սահմանափակ է, օրինակ՝ ցանկացած ab' աստիճանով։

Ընդունենք՝

c=sup{ab''}:

Այդ թվի համար կունենանք՝

ab''c≤ab':

Իրականում այդտեղ հավասարության նշանները պետք չեն, քանի որ կարելի է b''-ն մեծացնել և b' փոքրացնել, այնպես, որ c թիվը բավարարի ab''<c<ab' պայմաններին։

Այժմ ապացուցենք այդ պայմաններով որոշվող թվի միակությունը։ Դրա համար նախ նկատենք, որ 2-րդ լեմման իր ուժը կպահպանի նաև այն դեպքում, երբ հրաժարվենք պահանջել, որ այդ լեմմայի a, a', e թվերն անպայման ռացիոնալ լինեն․ ապացույցը մնում է նույնը։ Այնուհետև ցույց տանք մի շատ պարզ և հաճախ և հաճախ օգտագործվող անհավասարություն․ եթե եոե n-ը մեկից մեծ բնական թիվ է և c>1, ապա՝

cn >1+n(c-1):

Իրոք, ընդունելով c=1+L, որտեղ L>0, Նյուտոնի երկանդամի բանաձևի համաձայն կունենանք՝

(1+L)n=1+nL+...։

Քանի որ չգրված անդամները դրական են, ուստի

(1+L)n>1+nL,

որը համարժեք է cn >1+n(c-1) անհավասարությանը։ cn >1+n(c-1)-ում դնելով c=a1/n (a>1), կստանանք մի նոր անհավասարություն՝

a1/n-1<(a-1)/n, որից մենք հենց հիմա կօգտվոնք։

Մենք գիտենք (նախորդ դասերից մեկի դիտողությունից), որ b'' և b' թվերը կարելի է այնպես ընտրել, որպեսզի b'-b'' տարբերությունը 1/n-ից փոքր լինի՝ նախապես տրված ամեն մի n բնական թվի դեպքում․ այդ դեպքում, a1/n-1<(a-1)/n անհավասարության շնորհիվ՝

ab'-ab''=ab''(ab'-b''-1)<ab'' (a1/n -1)<ab''(a-1)/n:

Եթե b' թվեիից որևէ մեկը նշանակենք b'0, ապա վերջնականապես կունենանք՝

n>ab'0(a-1)/q:

Այդ դեպքում, վերևում ընդհանրացված 2-րդ լեմմայի համաձայն, ab'' և ab' սահմանների միջև չեն կարող երկու տարբեր c թվեր լինել։

Եթե b-ն ռացիոնալ է, ապա վերևում ձևակերպված սահմանումը մեզ վերադարձնում է ab սիմվոլի մեր սովորական ըմբռնմանը։

Հեշտ ե ստուգել, որ ցանկացած ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի համար տեղի ունեն աստիճանի համար բոլոր սովորական կանոնները, ինչպես նաև՝ որ a>1-ի դեպքում b իրական ցուցիչի աճման հետ միասին աճում է նաև ab աստիճանը։

Free Joomla! templates by AgeThemes