Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Լոգարիթմներ

Օգտվելով ցանկացած իրական ցուցիչով աստիճանի սահմանումից, այժմ հեշտ է ապացուցել ցանկացած իրական դրական c թվի լոգարիթմի գոյությունը՝ 1 ից տարբեր դրական a հիմքի դեպքում (մենք կընդունենք, օրինակ, a>1):

Եթե գոյություն ունի այնպիսի r ռացիոնալ թիվ, որ

ar=c,

ապա հենց այդ r-ը կլինի որոնելի լոգարիթմը։ Ենթադրենք, թե այդպիսի ռացիոնալ թիվ չկա։

Բոլոր ռացիոնալ թվերի մեջ առաջացնենք B|B' հատույթը հետևյալ եղանակով՝ B դասի մեջ գցենք բոլոր այն b ռացիոնալ թվերը, որոնց համար ab<c, իսկ B' դասի մեջ՝ այն b' ռացիոնալ թվերը, որոնց համար՝ ab'>c: Ցույց տանք, որ B և B' դասերը դատարկ չեն։

cn>1+n(c-1) անհավասարության շնորհիվ  (բանաձևի ստացումը) կունենանք՝

an>1+n(a-1)>n(a-1),

և բավական է վերցնել

n>c/(a-1),

որպեսզի լինի an>c. այսպիսի n բնական թիվը կպատկանի B' դասին։ Միևնույն ժամանակ ունենք՝

a-n=1/an>1/n(a-1),

և բավական է վերցնել

n>1/c(a-1),

որպեսզի ստանանք a-n<c և -n թիվն ընկնի B դասի մեջ։ Հատույթ ստանալու համար պահանջվող մյուս պայմանները նույնպես բավարարվում են այստեղ։

Այդ B|B' որոշում է մի b'' իրական թիվ, որը հանդիսանում է սահմանազատիչ թիվ երկու դասերին պատկանող թվերի միջև։ Աստիճանի սահմանման համաձայն ունենք՝

ab<ab''<ab' (b<b''<b'),

ընդ որում ab'' թիվը միակն է, որը բավարարում է նման բոլոր անհավասարություններին։ Սակայն c թվի համար (հենց հատույթի կառուցման համաձայն) ունենք՝

ab<c<ab':

Հետևաբար՝

ab''=c և b''=logac,

որով և ապացուցվում է լոգարիթմի գոյությունը։

Free Joomla! templates by AgeThemes