Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63327

Ֆունկցիայի գաղափարի սահմանումը

Այժմ վերանանք, ինչպես սովորաբար, դիտարկվող մեծությունների ֆիզիկական իմաստը և տանք մաթեմատիկական անալիզի հիմնական բանաձևերից մեկի՝ ֆունկցիայի գաղափարի ընդհանուր ճշգրիտ սահմանումը։

Դիցուք տրված են երկու փոփոխականներ՝ x և y, որոնց փոփոխման տիրույթներն են X և Y։ Ենթադրենք, թե խնդրի պայմաններով x փոփոխականին կարելի է վերագրել X տիրույթից կամայական արժեք՝ առանց որևէ սահմանափակման։ Այդ դեպքում y փոփոխականը կոչվում է x փոփոխականի ֆունկցիա նրա փոփոխման X տիրույթում, եթե x-ի՝ X-ից վերցրած յուրաքանչյուր արժեքի որևէ կանոնով կամ օրենքով համապատասխանեցվում է y- ի մի որոշակի արժեք Y-ից։

x անկախ փոփոխականը կոչվում է նաև ֆունկցիայի արգումենտ։

Այս սահմանման մեջ էական են երկու հանգամանք․ առաջինը՝ x արգումենտի փոփոխման X տիրույթը ցույց տալը (վերջինս անվանում են նաև ֆունկցիայի որոշման տիրույթ) և եիկրորդը՝ x և y փոփոխականների արժեքների համապատասխանության կանոնը կամ օրենքը հաստատելը։ (y ֆունկցիայի Y տիրույթը սովորաբար ցույց չի տրվում, քանի որ համապատասխանեցման օրենքն ինքն արդեն որոշում է արդեն ֆունկցիայի ստանալիք արժեքների բազմությունը։)

Կարելի է ֆունկցիայի գաղափարը սահմանելիս կանգնել ավելի ընդհանուր տեսակետի վրա, թույլատրելով, որ X-ից վերցրած յորաքանչյուր x արժեքի y-ի ոչ թե մեկ, այլ մի քանի արժեք (նույնիսկ անվերջ բազմությամբ արժեքներ)։ Նման դեպքում ֆունկցիան անվանում են բազմարժեք, ի տարբերություն վերևում սահմանված միարժեք ֆունկցիայից։ Ի միջի այլոց, անալիզի դասընթացում, որը կանգնած է իրական փոփոխականի տեսակետի վրա, խուսափում են բազմարժեք ֆունկցիաներից․ հետագայում, ֆունկցիայի մասին խոսելիս, եթե հակառակը չի ասվի, մենք միշտ կհասկանանք միարժեք ֆունկցիա։

Նշելու համար այն փաստը, որ y-ը x-ի ֆունկցիա է, գրում են՝

y=f(x), y=g(x), y=F(x) և այլն։

f, g, F,... տառերը բնութագրում են հենց այն կանոնը, որով ստացվում է y-ի՝ տրված x-ին համապատասխանող արժեքը։ Այդ պատճառով, երբ միաժամանակ ուսումնասիրվում են միևնույն x արգումենտից կախված տարբեր ֆունկցիաներ, որոնք x-ի հետ կապված են համապատասխանության տարբեր օրենքներով, այդ ֆունկցիաները չպետք է նշանակել միևնույն տառով։

Չնայած հենց «եֆ» տառն է (տարբեր այբուբեններում) կապված «ֆունկցիա» բառի հետ, սակայն ֆունկցիոնալ կախումը նշելու համար, հասկանալի է, կարելի է օգտագործել նաև ամեն մի այլ տառ․ երբեմն նույնիսկ կրկնում են միևնույն y տառը՝ y=y(x)։

Որոշ դեպքերում արգումենտը գրում են ֆունկցիայի մոտ նշանիկի տեսքով՝ yx։

Եթե, դիտարկելով, ասենք՝ y=f(x), ֆունկցիան, մենք ցանկանում ենք նշել նրա այն մասնավոր արժեքը, որը համապատասխանում է x-ի ընտրված x0 մասնավոր արժեքին, ապա այդ արժեքը նշանակելու համար օգտագործում են f(x0) սիմվոլը, օրինակ, եթե

f(x)=1/(1+x2),g(t)=10/t,h(u)=u+0,2, ...

ապա f(1)-ը նշանակում է f(x) ֆունկցիայի արժեքը x=1 դեպքում, այսինքն՝ պարզապես 1/2 թիվը։ Նմանապես g(5)-ը նշանակում է 2 թիվը, h(3/5)-ը նշանակում է 4/5 թիվը և այլն։

Այժմ անցնենք փոփոխականների արժեքների համապատասխանեցման կանոնին կամ օրենքին, որը ֆունկցիոնալ կախման գաղափարի էությունն է կազմում։ Այդ կանոնը կարող է լինել ամենատարբեր բնույթի, որքանով որ այն ոչնչով չի սահմանափակվել։

Ամենից պարզ և բնական է թվում այդ կանոնի իրականացումն անալիտիկ արտահայտության կամ բանաձևի տեսքով, որը ցույց է տալիս այն օպերացիաները կամ գործողությունները, որոնք պետք է կատարել հաստատուն թվերի և x-ի արժեքի հետ՝ y-ի համապատասխան արժեքը ստանալու համար։ Ֆունկցիան տալու անալիտիկ եղանակը մաթեմատիկական անալիզի համար ամենակարևորն է (մենք դրան դեռ կանրադառնանք)։ Դրա հետ ընթերցողը ամենից լավ է ծանոթ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացից․ վերջապես, ֆունկցիոնալ կախման թեմայի բերված օրինակներում մենք օգտվեցինք հենց անալիտիկ եղանակից։

Սակայն սխալ կլիներ կարծել թե այդ՝ ֆունկցիան տալու միակ եղանակն է։ Հենց մաթեմատիկայի մեջ բացառիկ չեն այն դեպքերը, երբ ֆունկցիան որոշվում է առանց բանաձևի օգնության։ Այդպիսի օրինակ, E(x) ֆունկցիան՝ «x թվի ամբողջ մասը»։ Չնայած E(x) արտահայտության համար ոչ մի բանաձև մենք չունենք, բայց հեշտ է հասկանալ, որ՝

E(1)=1, E(2,5)=2, E(13)=3, E(-π)=-4, և այլն։

Բնական գիտությունների և տեխնիկայի մեջ մեծությունների միջև կախումը հաճախ որոշվում է փորձնականորեն կամ դիտումների միջոցով։ Օրինակ, եթե ջուրը ենթարկենք կամավորապես ընտրած p(մթնոլորտ միաովորով) ճնշման, ապա փորձի միջոցով կարելի է որոշել ջրի եռման համապատասխան t  ջերմաստրճանը․ t-ն p-ի ֆունկցիա է, սակայն այդ ֆունկցիոնալ կապը տրվում է ոչ թե բանաձևով, այլ միայն աղյուսակով, որտեղ պարզապես զուգադրված են փորձից ստացված տվյալները։ Ֆունկցիայի տրման աղյուսակային եղանակի օրինակների կարելի է գտնել յուրաքանչյուր տեխնիկական տեղեկագրքում։ Դրա անհարմարությունն այն է, որ ֆունկցիայի արժեքները տրված են արգումենտի միայն մի քանի արժեքների համար։

Վերջապես, հիշեցնենք նաև, որ որոշ դեպքերում (ինքնագիր գործիքների օգնությամբ) ֆիզիկական մեծությունների ֆունկցիոնալ առնչությունը տրվում է անմիջականորեն գրաֆիկի միջոցով։ Օրինակ, «ինդիկատորային դիագրաման», որը գծվում է ինդիկատորի միջոցով, տալիս է գոլորշու v ծավալի և p ճնշման կապն աշխատող շոգեմեքենայի գլանի մեջ․ «բարոգրումը»-ը, որը գծվում է բարոդրաֆով, ներկայացնում է մթնոլորտային ճնշման օրական ընթացքը, և այլն։ Հասկանալի է, որ ֆունկցիայի տրման այս եղանակը հնարավորություն է տալիս ֆունկցիայի արժեքները հաշվելու միայն մոտավորապես։

Մենք մանրամասն կանգ չենք առնի ֆունկցիոնալ առնչությունն աղյուսակի կամ գրաֆիկի միջոցով տալու եղանակի վրա, որովհետև մաթեմատիկական անալիզի մեջ այդ եղանակից օգտվելու հարկ չի լինում։

Free Joomla! templates by AgeThemes