Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

    Ի լրացումն պարզագույն տարրական ֆունկցիաների (ծանոթ լինելով հակադարձ ֆունկցիայի գաղափարի հետ) դասում հիշատակված տարրական ֆունկցիաների դասերի՝ այժմ դիտարկենք՝

    6․ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝

    y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx,

    y=arcctgx, (y=arcscx, arccscx):

    Նախ կանգ առնենք սրանցից առաջինի վրա։ y=sinx ֆունկցիան որոշված է X=(-∞,+∞) միջակայքում, ընդ որում նրա արժեքներն անընդմեջ լրացնում են Y=[-1,1] միջակայքը։ x-երի առանցքին զուգահեռ ուղիղը սինուսոիդը, այսինքն՝ y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը (գծագիր 12)․ հատում է անվերջ բազմությամբ կետերում․ այլ խոսքով, [-1,1] միջակայքից վերցրած y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում են x-ի անվերջ բազմությամբ արժեքներ։ Հետևապես, հակադարձ ֆունկցիան, որը նշանակում են

    x=Arcsiny,


    Գծագիր 12

    կլինի բազմարժեք (անվերջարժեք)։

    Սովորաբար դիտարկում են այդ ֆունկցիայի միայն մեկ ճյուղը, որը համապատասխանում է x-ի փոփոխմանը π/2-ի և π/2-ի միջև․ [-1,1]-ից վերցրած y-ի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է x-ի միայն մեկ արժեք այդ սահմաններում։ Այդ ճյուղը նշանակում են այսպես՝

    x=arcsiny

    և անվանում են արկսինուսի գլխավոր արժեք։

    Սինուսոիդը պտտելով առաջին կոորդինատային անկյան կիսորդի շուրջը (գծագիր 16) կստանանք y=Arcsinx բազմարժեք ֆունկցիայի գրաֆիկը, անընդհատ կորով առանձնացված է նրա գլխավոր ճյուղի՝ y=arcsinx-ի գրաֆիկը, որը միարժեք կերպով որոշված է x-ի արժեքների [-1,1] միջակայքում և բավարարում է

    -π/2arcsinxπ/2

    անհավասարությունը, որը և բնութագրում է այդ ճյուղը մյուս ճյուղերի թվում։

    Տարրական եռանկյունաչափությունից վերհիշելով, թե տրված սինուսն ունեցող անկյունների բոլոր արժեքներն ինչպես են արտահայտվում այդ արժեքներից մեկի միջոցով, հեշտ է գրել այն բանաձևերը, որոնք արտահայտում են արկսինուսի բոլոր արժեքները՝

    Arcsinx=arcsinx+2kπ կամ Arcsinx=(2k+1)π-arcsinx (k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)

    Նման դատողությունները կիրառելի են նաև y=cosx (-∞<x<+∞) ֆունկցիայի նկատմամբ։ Այստեղ ևս

    y=Arccosx (-1≤x≤1)

    Հակադարձ ֆունկցիան՝ բազմարժեք (անվերջարժեք) է (տես գծագիր 12)։ Միարժեք ճյուղն առանձնացնելու համար ֆունկցիան ենթարկում են հետևյալ պայմանին՝

    0≤arccosx≤π

    Այս՝ արկսինուսի գլխավոր ճյուղն է։

    Arccos x ֆունկցիան arcsin x-ի հետ կապված է

    arccos x = π/2 – arcsin x

    ակնհայտ առընչությամբ․ իրոք, ոչ միայն π/2-arcsinx անկյան կոսինուսն հավասար է sin(arcsinx)=x, այլև անկյունն ինքը գտնվում է հենց 0-ի և π-ի միջև։ Arccos x-ի բոլոր արժեքները նրա գլխավոր արժեքի միջոցով արտահայտվում են հետևյալ բանաձևով՝

    Arccosx = 2πk±arccosx (k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)

    y=tgx ֆունկցիան որոշված է x-ի բոլոր արժեքների համար, բացի x=(2k+1)π/2 (k=...,-2,-1,0,1,2,...) արժեքներից։ Այստեղ y-ի արժեքները լրացնում են (-∞, +∞) միջակայքը, ընդ որում y-ի յուրաքանչյուր արժեքին դարձյալ համապատասխանում են x-ի անվերջ բազմությամբ արժեքներ (տես գծագիր 13)։ Այդ պատճառով x=Arctgy հակադարձ ֆունկցիան, որը տրված է (-∞;+∞) միջակայքում, կլինի բազմարժեք (անվերջարժեք)։ 17-րդ գծագրի վրա պատկերված է y=Arctg x ֆունկցիայի գրաֆիկը, որն ստացվել է y=tgx ֆունկցիայի գրաֆիկն առաջին կոորդինատային անկյան կիսորդի շուրջը 180 աստիճանի անկյունով պտտելով։ Որպես արկտանգեսի գլխավոր արժեք՝ arctgx ընդունում են այդ բազմարժեք ֆունկցիայի արժեքներից այն, որը բավարարում է

    -π/2 < arctg x < π/2

    անհավասարություններին։

    Գծագիր 13

    Այսպես որոշվում է միարժեք ֆունկցիա՝ արկտանգեսի գլխավոր ճյուղը, որը տրված է x-ի բոլոր արժեքների համար։ Արկտանգեսի մյուս արժեքներին, ինչպես հեշտ է ցույց տալ, ստացվում են այսպես՝

    Arctg x = arctg x + kπ (k= …, -2, -1, 0, 1, 2, …)

    Դժվար չէ arctg x և arcsin x ֆունկցիաների միջև անմիջական կապ հաստատել՝

    \[arctg x = arcsin \frac {x}{\sqrt{1+x^2}}\]
     կամ
    \[arcsin x = arctg \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\]

    Օրինակ, եթե ընդունենք a=arctgx, այնպես որ tga=x, ապա

    \[sin a = \frac {tg a}{\sqrt {1+tg^2 a}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\]

    ընդ որում արմատը վերցվում է դրական նշանով, որովհետև -π/2 < a < π/2. Այստեղից էլ հենց բխում է, որ

    \[a=arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}:\]

     


    Գծագիր 17

    Հիշենք նաև Arcctg x (-∞<x<+∞) ֆունկցիայի մասին․ նրա գլխավոր արժեքը որոշվում է

    0< arcctg x<π

    անհավասարություններով և arctg x-ի հետ կապված է

    arcctg x = π/2 – arctg x

    առնչությամբ։

    Արկկոտանգեսի մյուս արժեքներն ունեն այսպիսի տեսք՝

    Arcctg x = arcctg x + kπ (k= …, -2, -1, 0, 1, 2, …)

    arcsec x (-∞<x≤-1 և 1≤x<+∞) և arccsc x (փոփոխականների նույն միջակայքով) ֆունկցիաների վրա կանգ չենք առնի, նրանց հետազոտումը թողնելով ընթերցողին։

     

    2019 www.alphazero.ru