Ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա (տեղադրումներ)։ Տարրական ֆունկցիաների եզրափակիչ դիտողություններ

    Ծանոթանանք ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի կամ տեղադրման գաղափարի հետ, որը կայանում է նրանում, որ տրված ֆունկցիաների արգումենտի տեղ տեղադրվում է մի այլ ֆունկցիա (կախված այլ արգումենտից): Օրինակ, y=sin x և z=lg y ֆունկցիաների սուպերպոզիցիան տալիս է z=lg sin x ֆունկցիան․ նույն ձևով ստացվում են նաև

    \[\sqrt{1-x^2}, \quad arctg \frac{1}{x}\]

    և այլ ֆունկցիաները։

    Ընդհանուր դեպքում, ենթադրենք z=g(x) ֆունկցիան որոշված է մի Y={y} տիրույթում, y=f(x) ֆունկցիան որոշված է X={x} տիրույթում գտնվող x-երի համար, ընդ որում նրա բոլոր արժեքները գտնվում են Y={y} տիրույթում։ Այդ դեպքում z փոփոխականը, ինչպես ասում են, ինքը ևս հանդիսանում է x-ի ֆունկցիա՝ y-ի միջոցով։

    z=g(f(x))։

    X-ից վերցրած x-ի միջոցով նախ գտնում են նրան համապատասխանող (f նշանով բնութագրվող օրենքով) y-ի արժեքը Y տիրույթից, և ապա որոշում են (g նշանով բնութագրվող օրենքով) y-ի այդ արժեքին համապատասխանող z-ի արժեքը․ վերջինս հենց համարում են z-ի՝ վերցրած x-ին համապատասխանող արժեքը։ Հենց այդպիսով ստացված ֆունկցիայի ֆունկցիան կամ բարդ ֆունկցիան էլ հանդիսանում է f(x) և g(y) ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի արդյունքը։

    Այն ենթադրությունը, թե f(x) ֆունկցիայի արժեքները դուրս չեն գալիս Y տիրույթից, որտեղ որոշված է g(y) ֆունկցիան, չափազանց էական է․ եթե այդ նկատի չունենանք, կարող է և անհեթեթություն ստացվել։ Ընդունելով, օրինակ, z=lgy իսկ y=sinx, մենք կարող ենք դիտարկել x-ի միայն այնպիսի արժեքներ, որոնց համար sinx>0, այլապես lgsinx արտահայտությունը իմաստ չեր ունենա։

    Հենց այստեղ էլ օգտակար ենք համարում ընդգծել, որ ֆունկցիայի, որպես բարդ ֆունկցիայի, խարակտերիստիկան կապված է ոչ թե x-ից z-ի ֆունկցիոնալ կախման բնույթի հետ, այլ միայն այդ կապը տալու եղանակի հետ։ Օրինակ, դիցուք z=√(1-y2), որբ y-ը գտնվում է [-1,1]-ում, իսկ y=sinx, երբ x-ը գտնվում է [-π/2, π/2]-ում։ Այդ դեպքում

    \[z=\sqrt{1-sin^2 x}= cos x:\]

    Պարզվեց, որ այստեղ cosx-ը տրված էր բարդ ֆունկցիայի տեսքով։

    Այժմ, երբ լրիվ չափով պարզաբանված է ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի գաղափարը, կարող ենք ճշտորեն բնութագրել անալիզի մեջ ուսումնասիրվող ֆունկցիաների դասերից պարզագույնը։ Այդ դասին են պատկանում ամենից առաջ պարզագույն տարրական ֆունկցիաները (ամբողջ և կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաներ, աստիճանային ֆունկցիա, ցուցչային ֆունկցիա, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ), և ապա՝ բոլոր այն ֆունկցիաները, որոնք ստացվում են նրանցից՝ թվաբանական չորս գործողությունների և սուպերպոզիցիայի միջոցով, որոնք հաջորդաբար կիրառվում են այդ ֆունկցիաների նկատմամբ վերջավոր անգամ։ Այդպիսի ֆունկցիաների մասին ասում են, որ նրանք արտահայտվում են պարզագույն տարրական ֆունկցիաների միջոցով վերջավոր տեսքով․ այդ բոլորը անվանում են տարրական ֆունկցիաներ։

    Հետագայում, երբ տիրապետենք ավելի բարդ անալիտիկ ապարատի (անվերջ շարքեր, ինտեգրալներ), մենք կծանոթանանք նաև այլ ֆունկցիաների հետ, որոնք անալիզի մեջ դարձյալ կարևոր դեր են խաղում, սակայն տարրական ֆունկցիաների դասին չեն պատկանում։

    2019 www.alphazero.ru