a թվից n-րդ աստիճանի արմատ հանելու եղանակը

    Քննարկենք մի եղանակ, որը մեզ կօգնի a դրական թվից n-րդ աստիճանի (n>1) արմատ հանել։

    Դժվար չէ նկատել, որ այդ թիվը xn=a հավասարման դրական արմատն է։

    Վերցնենք սկզբնական մոտարկում, որը մեծ է մեր որոնվող թվից, որոշակիության համար վերցնենք x0=a+1:

    Դիտարկենք y=xn-a ֆունկցիայի x0 կետում տարված շոշափողի հավասարումը․ 

    \[y=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)\]

    \[y=nx_0^{n-1} (x-x_0) + x_0^n-a\]

    Հաջորդ մոտարկումը վերցնենք այն թիվը, որի դեպքում այդ շոշափողը հատում է աբսցիսների (ox) առանցքը:

    \[0=nx_0^{n-1} (x-x_0) + x_0^n-a\]

    \[x-x_0 = -\frac{x_0^n-a}{nx_0^{n-1}}\]
     

    \[x=x_0 -\frac{x_0^n-a}{nx_0^{n-1}} \]

    \[x_1=x_0 -\frac{x_0^n-a}{nx_0^{n-1}} \]

    Նույն ձևով վերցնենք մյուս մոտարկումները․

    \[x_m=x_{m-1} -\frac{x_{m-1}^n-a}{nx_{m-1}^{n-1}}; \quad x_0=a+1\]

    Մենք այստեղ x0-ն ընտրել ենք բավականաչափ մեծ, որպեսզի մեր որոնվող թվից մեծ լինի։

    Նշված հաջորդականությունը մեծ արագությամբ մոտենում է մեր որոնվող թվին։  Սկասծ x3 ից շեղումը որոնվող թվից դառնում է աննշան։

    Նկարում պատկերված է գրաֆիկական մեկնաբանությունը 5-ից արմատ հանելու օրինակով։ Նշված մեթոդը հայտնի է "Նյուտոնի մեթոդ" անվանումով։

    2019 www.alphazero.ru