Հոդվածների այցերի քանակը
79247

Հաջորդականության սահմանի սահմանումը

xn փոփոխականի արժեքների կարգավորումը նրանց համարների աճման կարգով, որը հանգեցրեց այդ արժեքների x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականության դիտարկմանը, հիշեցնում է n-ը անվերջության ձգտելիս xn փոփոխականի՝ իր a սահմանին մոտենալու բուն «պռոցեսի» ըմբռնումը։

a թիվը կոչվում է xn փոփոխականի սահման, եթե վերջինս ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում a-ից՝ սկսած մի որոշ տեղից, այսինքն՝ բոլոր բավականաչափ մեծ n համարների դեպքում։

Այսպիսով հարցի էությունը վառ է արտահայտված, սակայն ինչ է նշանակում «ցանկացած չափով քիչ» և «բավականաչափ մեծ» - այդ դեռևս ենթակա է ճշգրտման։ Այժմ բերենք սահմանի ավելի երկար, բայց արդեն սպառիչ խստությամբ ձևակերպված սահմանումը՝

a թիվը կոչվում է xn փոփոխականի սահման, եթե յուրաքանչյուր e դրական թվին համապատասխան, որքան էլ այն փոքր լինի, գոյություն ունի այնպիսի N համար, որ xn-ի այն բոլոր արժեքները, որոնց մոտ n>N, բավարարեն

\[|x_n-a|<e\]

անհավասարությանը։

Այն փաստը, որ a-ն xn փոփոխականի սահմանն է, գրում են այսպես

\[\lim_{x \to \infty} x_n=a\]

(lim-ը լատիներեն limes բառի համառոտագրությունն է, որ նշանակում է «սահման»)։ Ասում են նաև, որ xn փոփոխականը ձգտում է a-ին, կամ ձգտում է դեպի a-ն, և գրում են՝

\[x_n \to a\]

Վերջապես, a թրվն անվանում են x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականության սահման և ասում են, որ այդ հաջորդականությունը զուգամիտում է դեպի a-ն։

|xn-a|<e անհավասարությունը, որտեղ e-ն կամայապես փոքր է, հենց այն մտքի ճշգրիտ գրառումն է, թե xn-ը «ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում» a-ից, իսկ N համարն էլ ցույց է տալիս հենց այն «տեղը», որտեղից սկսած այդ հանգամանքն իրականանում է, այնպես որ «բավականաչափ մեծ» կլինեն այն n համարները, որոնք >N:

Շատ կարևոր է, որպեսզի ճիշտ հասկացվի այն հանգամանքը, որ N համարը, ընդհանրապես ասած, չի կարող նշվել․ այն կախված է e թվի ընտրությունից։ Այդ հանգամանքն ընդգծելու համար մենք երբեմն N-ի փոխարեն կգրենք Ne: e թիվը փոքրացնելիս համապատասխան N=Ne համարը, ընդհանրապես ասած, մեծանում է․ xn փոփոխականի արժեքների՝ a սահմանին որքան շատ մոտիկություն ենք պահանջում, այնքան «ավելի հեռավոր» արժեքներ պետք է դիտարկենք x1, x2, x3, …, xn, …, xn', … հաջորդականության մեջ։

Բացառություն է կազմում այն մասնավոր դեպքը, երբ xn փոփոխականի բոլոր արժեքները հավասար են a հաստատուն թվին։ Ակներևորեն այդ դեպքում a=lim xn, սակայն այս անգամ |xn-a|<e անհավասարությունը կբավարարվի ցանկացած e>0 թվի դեպքում՝ միաժամանակ xn-ի բոլոր արժեքների համար։

|xn-a|<e անհավասարությունը, ինչպես գիտենք, համարժեք է հետևյալ անհավասարություններին՝

\[-e<x_n – a<e\]

\[a-e<x_n<a+e\]

սրանից մենք հաճախ ենք օգտվելու հետագայում։

a կետը կենտրոն ունեցող (a-e, a+e) բաց միջակայքն ընդունված է անվանել a կետի շրջակայք։ Այսպիսով, a կետի ինչպիսի փոքր շրջակայք էլ վերցնելու լինենք, xn-ի բոլոր արժեքներն, սկսած մի որոշ արժեքից, պետք է ընկնեն այդ շրջակայքը (այնպես որ այդ շրջակայքից դուրս կարող մնալ կարող են, թերևս, միայն վերջավոր թվով արժեքներ)։ Եթե a թիվն ու xn փոփոխականի արժեքները պատկերացնենք որպես կետեր թվային ուղղի վրա, ապա a թիվը պատկերող կետը կհանդիսանա xn-ի արժեքները պատկերող կետերի մի տեսակ կուտակման կենտրոն։

Վերջին ավելացված նյութերը

Free Joomla! templates by AgeThemes