Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Միակողմյան սահմաններ

Եթե X տիրոիյթն այնպիսին է, որ a-ին ցանկացած չափով մոտ, սակայն a-ից դեպի աջ, գտնվում են x-ի արժեքներ X-ից, ապա կարելի է ֆունկցիայի սահմանի հաջորդականություններով և ε-δ լեզվով տրված սահմանումը մասնավորեցնել, սահմանափակվելով միայն a<x-ի արժեքներով։ Այդ դեպքում ֆունկցիայի սահմանը, եթե այն գոյություն ունի, կոչվում է f(x) ֆունկցիայի սահման x-ը աջից a-ին ձգտեցնելիս (կամ կարճ ՝a կետում աջից) և նշանակվում է այսպես՝

\[\lim\limits_{x\to a+0} f(x)\]
կամ f(a+0)

Համանման ձևով սահմանվում է ֆունկցիայի սահմանը x-ը ձախից a-ին ձգտելիս (a կետում ձախից)՝

\[\lim\limits_{x\to a-0} f(x)\]
կամ f(a-0)

Այս երկու սահմանները կոչվում են միակողմյան սահմաններ։

Եթե X տիրույթը հնարավորություն է տալիս a-ին մոտենալ թե աջից, թե ձախից, ապա կարելի է դիտարկել թե մեկ, թե մյուս սահմանը։ Հեշտ է ցույց տալ, որ 

\[\lim\limits_{x\to a} f(x)=A\]
սովորական (երկկողմյան) սահմանի գոյության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի ձախակողմյան ու աջակողմյան երկու սահմաններն էլ զատ-զատ գողություն ունենան և հավասար լինեն՝

\[\lim\limits_{x\to a+0} f(x)=\lim\limits_{x\to a-0} f(x)=A\]

Նշենք, որ այդ սահմանները երկուսն էլ կարող են գոյություն ունենալ, բայց հավասար չլինել։ Այդպիսի օրինակներ հեշտ է կառուցել։

Օրինակներ։ Որոշենք երկու ֆունկցիաներ հետևյալ հավասարություններով

\[\mathit{f}_1 (x)=\mathbf{a}^{1/x} (a>1), \mathit{f}_2 (x)=arctg \frac 1x\]

Դրանցից առաջինի համար ունենք՝

\[\mathit{f}_1 (+0)=\lim\limits_{x\to +0}\mathbf{a}^{1/x}=\lim\limits_{z\to+\infty}\mathbf{a}^z=+\infty,\]

\[\mathit{f}_1 (-0)=\lim\limits_{x\to -0}\mathbf{a}^{1/x}=\lim\limits_{z\to-\infty}\mathbf{a}^z=0,\]

Իսկ երկրորդի համար՝

\[\mathit{f}_2 (+0) = \lim\limits_{x\to+0} arctg \frac 1x=\lim\limits_{z\to +\infty} arctg z=\frac\pi 2\]

\[\mathit{f}_2 (-0) = \lim\limits_{x\to-0} arctg \frac 1x=\lim\limits_{z\to -\infty} arctg z=-\frac\pi 2\]

Free Joomla! templates by AgeThemes