Հոդվածների այցերի քանակը
85907

Բնական արգումենտի՝ սահման ունեցող ֆունկցիայի (այսինքն՝ հաջորդականության) հատկությունները

Քանի որ բնական արգումենտի ֆունկցիայի վերաբերյալ թեորեմների ձևակերպումն ու ապացույցն ավելի պարզ են, քան ընդհանուր տեսք ունեցող ֆունկցիայի դեպքում, ուստի մենք միշտ պետք է թեորեմները նախ ձևակերպենք ու ապացուցենք այդ մասնավոր դեպքի համար, և ապա դիտողություններ կանենք դրանք ընդհանուր դեպքի վրա տարածելու վերաբերյալ։


1․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a սահմանին և a>p (կամ՝ a<q), ապա փոփոխականի բոլոր արժեքները, սկսած մի որոշ արժեքից, նույնպես մեծ կլինեն p-ից (կամ՝ փոքր կլինեն q-ից) ε դրական թիվն ընդունելով այնպես, որ ε<a-p, (կամ՝ ε<q-a), կունենանք՝

a-ε>p (կամ՝ a+ε<q):

Սակայն xn փոփոխականի սահմանի սահմանման համաձայն այդ ε-ին համապատասխան կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-երի դեպքում կլինի՝

a-ε<xn<a+ε

Այդ նույն արժեքների համար առավել ևս

xn>p (կամ՝ xn<q)

Այս պարզ առաջադրությունը մի շարք մի շարք օգտակար հետևանքներ ունի։

2․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a>0 (կամ` a<0) սահմանի, ապա ինքը՝ xn փոփոխականը նույնպես >0 (կամ՝ <0), սկսած մի որոշ արժեքից։
Ապացուցելու համար բավական է կիրառել նախորդ առաջադրությունը, ընդունելով՝ p=0 (q=0):

3․ Եթե xn փոփոխականը ձգտում է a սահմանին, միշտ մնալով

xn≤p (կամ՝ xn≥q),

ապա նաև a≤p (կամ՝ a≥q)։

Ապացուցվում է հակասող ենթադրությհամբ, օգտվելով 1-ից։

Հենվելով 1․ առաջադրության վրա, այժմ ապացուցենք սահմանի միակությունը՝

4․ xn փոփոխականը չի կարող միաժամանակ ձգտել երկու տարբեր (վերջավոր) սահմանների։
Իրոք, ենթադրենք հակառակը և թող միաժամանակ xn->a և xn->b, ընդ որում՝ a<b: Վերցնենք a-ի և b-ի միջև մի կամայական թիվ՝

a<r<b:

Քանի որ xn->a և a<r, ուստի կգտնվեր այնպիսի N' համար, որ N'<n-երի համար տեղի կունենար xn<r անհավասարությունը։ Մյուս կողմից, քանի որ xn->b և b>r, ապա կգտնվեր նաև այնպիսի N'' համար, որ N''<n-երի համար կլիներ xn>r։ Եթե n-ը վերցնենք մեծ N'-ից և N''-ից, ապա փոփոխականի համապատասխան xn արժեքը միաժամանակ և մեծ կլինի r-ից, և փոքր, որը հնարավոր չէ։ Այս հակասությունն էլ հենց հաստատում է մեր մնդումը։

5․ Եթե xn փոփոխականը վերջավոր սահման ունի, ապա այն սահմանափակ է այն իմաստով, որ նրա բոլոր արժեքները գտնվում են երկու վերջավոր եզրերի միջև՝

m≤xn≤M (n=1, 2, 3, …)

Ամենից առաջ, սահմանի սահմանումից անմիջապես երևում է, որ, ինչպիսին էլ վերցնենք ε>0 թիվը, կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-երի դեպքում կլինի՝

a-ε<xn<a+ε։

Այսպիսով, n=N+1,N+2,... համարների համար xn-ի արժեքներն արդեն գտնվում են a-ε և a+ε եզրերի միջև։ Այդ եզրերից դուրս կարող են լինել միայն

x1, x2, x3, .., xN

N հատ արժեքներից մի քանիսը, այսինքն՝ վերջավոր թվով։ Հետևաբար, կարելի է այդ եզրերի փոխարեն վերցնել նոր եզրեր այնպես, որպեսզի նրանց միջև գտնվեն բոլոր xn-երը։ Օրինակի համար, կարելի է որպես m ստորին եզր վերցնել

a-ε, x1, x2, x3 ,.., xN

թվերից փոքրագույնը, իսկ որպես M վերին եզր՝

a+ε, x1, x2, x3,.., xN

թվերից մեծագույնը։

Դիտողություն։ Այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ վերջավոր սահման ունեցող փոփոխականը չի կարող միաժամանակ ձգտել +∞ կամ -∞։ Այս որոշ չափով լրացնում է սահմանի միակության վերաբերյալ 4-րդ թեորեման։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes