Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Հաջորդականությունների հատկությունների տարածումը կամայական փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքի վրա

Նախորդ թեմայի բովանդակությունը հեշտ է ձևակերպել f(x) ֆունյցիայի ընդհանուր դեպքի համար, երբ ֆունկցիան տրված է մի որոշ X տիրույթում, որն ունի a խտացման կետը։
1․ Եթե x-ն a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ունի A վերջավոր սահման և A>p (կամ A<q), ապա x-ի՝ a- ին բավականաչափ մոտ (և a-ից տարբեր) արժեքների համար ֆունկցիան ինքն էլ բավարարում է

f(x)>p (կամ f(x)<q)

անհավասարությանը:


ε դրական թիվն ընտրելով ε<A-p (կամ ε<q-A) պայմանով, կունենանք՝

A-ε>p (կամ՝ A+ε<q)

Սակայն, ֆունկցիայի սահմանի երկրորդ սահմանման համաձայն, այդ ε-ի համար կգտնվի այնպիսի δ, որ հենց որ |x-a|<δ (որտեղ x-ը վերցրած է X-ից և տարբեր է a-ից), անմիջապես կունենանք՝

A-ε<f(x)<A+ε:

x-ի այդ նույն արժեքների համար, անշուշտ, տեղի կունենա նաև f(x)>p (կամ f(x)<q)
Ընթերցողը տեսնում է, որ ապացուցելու համար ոչ մի նոր գաղափար օգտագործելու հարկ չեղավ։
Այս առաջադրության օգնությամբ անմիջապես կարելի է հիմնավորել նաև այնպիսի առաջադրություններ, որոնք նման են նախորդ դասի 2, 3 և 4 առաջադրություններին։ Օրինակ 1-ում ընդունելով p=0 (կամ՝ q=0) կստանանք՝

2․ Եթե x-ն a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ունի դրական (կամ՝ բացասական) վերջավոր սահման, ապա ֆունկցիան ինքն էլ դրական (կամ՝ բացասական) կլինի գոնե x-ի այն արժեքների համար, որոնք բավականաչափ մոտ են a-ին, բայց a-ից տարբեր են։

Իրավացի է նաև 5-ին համանման պնդումը, սակայն ավելի թույլ առումով՝

3․ Եթե x-ն a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիան ունի A վերջավոր սահման, ապա x-ի՝ a-ին բավականաչափ մոտ արժեքների համար ֆունկցիան սահմանափակ կլինի այն իմաստով, որ նրա արժեքները կգտնվեն երկու վերջավոր եզրերի միջև՝

m≤f(x)≤M միայն 0<|x-a|<δ համար։

Իրոք, սահմանի սահմանման համաձայն, կամայապես վերցնելով ε>0 թիվը, կգտնենք այնպիսի δ>0, որպեսզի՝

A-ε<f(x)<A+ε, երբ 0<|x-a|<δ:

Հիշենք, որ նման արդյունք մենք նախապես ստացել էինք xn փոփոխականի համար․

a-ε<xn<a+ε

անհավասարությունները տեղի ունեն միայն N<n-երի համար։ Սակայն այն դեպքում այդ եզրերից դուրս կարող էին լինել միայն վերջավոր թվով արժեքներ և հեշտ էր գտնել այնպիսի նոր եզրեր, որոնց միջև գտնվեին արդեն բոլոր արժեքներն առանց բացառության։ Իսկ այստեղ արդեն այդ բանը, ընդհանրապես ասած, չի կարելի անել, քանի որ x-ի այդպիսի արժեքներ, որոնց համար |x-a|≥δ, կարող են և անվերջ թվով լինել։ Օրինակի համար, f(x)=1/x ֆունկցիան (0<x-երի համար) ձգտում է 1-ի, երբ x->1, ակներևորեն՝ 0<f(x)<2, երբ |x-1|<1/2, սակայն x-ի բոլոր դիտարկվող արժեքների համար f(x) ֆունկցիան ամենևին էլ սահմանափակ չէ, նա ձգտում է +∞, երբ x-ը ձգտում է 0-ին՝ աջից։

Free Joomla! templates by AgeThemes