Հոդվածների այցերի քանակը
102898

Սահմանի անցում հավասարությունում և անհավասարությունում

xn և yn երկու փոփոխականները միացնելով հավասարության կամ անհավասարության նշանով, մենք միշտ հասկանում ենք, որ խոսքը նրանց համապատասխան արժեքների մասին է, այսինքն՝ միևնույն համարն ունեցող արժեքների մասին է։

1) Եթե xn և yn երկու փոփոխականները իրենց փոփոխման ընթացքում միշտ իրար հավասար են՝ xn=yn, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

limxn=a, limyn=b

Ապա այդ սահմանները ևս իրար հավասար են՝ a=b։

Անմիջապես հետևում է սահմանի միակության թեորեմից։

Սովորաբար այս թեորեմից օգտվում են հավասարության մեջ սահմանային անցման ձևով․ xn=yn հավասարությունից եզրակացնում են , որ lim xn = lim yn:

2) Եթե xn և yn երկու փոփոխականների համար միշտ տեղի ունի xn≥yn անհավասարությունը, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

limxn=a, limyn=b,

ապա նաև a≥b:

Ենթադրենք հակառակը, թող a<b: Դիտարկելով այնպես, ինչպես այս նախորդ թեմայում, a և b թվերի միջև վերցնենք մի r թիվ՝ a<r<b։ Այն ժամանակ, մի կողմից՝ կգտնվի այնպիսի N' համար,որ n>N' դեպքում կլինի xn<r, մյուս կողմից, կգտնվի նաև այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի yn>r։ Եթե այժմ N-ը վերցնենք N'-ից և N''-ից մեծ, ապա n>N դեպքում միաժամանակ տեղի կունենան երկու անհավասարությունները՝

xn<r և yn>r

որտեղից կբխի, որ xn<yn, որը սակայն հակասում է թեորեմի պայմանին։ Թեորեման ապացուցվեց։

Այս թեորեման հաստատում է սահմանային անցման թույլատրելիությունն անհավասարության մեջ (հավասարության հետ միացած)։ xn≥yn անհավասարությունից կարելի է եզրակացնել lim xn≥lim yn:

Իհարկե > նշանը կարելի է ամենուրեք փոխարինել < նշանով։

Ընթերցողի ուշադրությունը պիտի հրավիրել այն հանգամանքի վրա, որ xn>yn խիստ անհավասարությունից, ընդհանրապես ասած, չի բխում նույնպիսի խիստ lim xn>lim yn անհավասարություն, այլ, առաջվա նման, միայն՝ lim xn≥lim yn: Այսպես, օրինակ, բոլոր n-երի համար տեղի ունի 1/n>-1/n խիստ անհավասարությունը, բայց և այնպես՝

lim 1/n = lim (-1/n) =0:

Փոփոխականի սահմանի գոյությունն ապացուցելիս և նրա մեծությունն որոշելիս հաճախ օգտակար է լինում հետևյալ թեորեման՝

3) Եթե xn, yn, zn փոփոխականների համար միշտ տեղի ունեն

xn≤yn≤zn

անհավասարությունները, ընդ որում xn և zn փոփոխականները ձգտում են a ընդհանուր սահմանին՝

lim xn= lim zn = a

ապա yn փոփոխականը նույնպես ունի նույն սահմանը՝

lim yn = a:

Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Այդ ε-ի համար նախ կգտնվի այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում տեղի կունենա՝

a-ε<xn<a+ε:

Այնուհետև կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում տեղի կունենա՝

a-ε<zn<a+ε

N-ը վերցնելով N' և N'' թվերից մեծ, այդ անհավասարությունները կբավարարվեն միաժամանակ, ուստի և՝

a-ε<xn≤yn≤zn<a+ε

որից հետևում է՝

a-ε<yn<a+ε

կամ՝

|yn-a|<ε

Այսպիսով, իսկապես lim yn=a:

Ապացուցված թեորեմից, մասնավորապես հետևում է, որ եթե բոլոր n-երի համար

a≤yn≤zn

և հայտնի է, որ zn->a, ապա նաև yn->a։ Ի միջի այլոց, այդ շատ հեշտ է ապացուցել նաև անմիջականորեն։

1), 2) և 3) թեորեմները հեշտությամբ տարածվում են նաև անվերջ սահմանների դեպքի վրա։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes