Սահմանի անցում հավասարությունում և անհավասարությունում

    xn և yn երկու փոփոխականները միացնելով հավասարության կամ անհավասարության նշանով, մենք միշտ հասկանում ենք, որ խոսքը նրանց համապատասխան արժեքների մասին է, այսինքն՝ միևնույն համարն ունեցող արժեքների մասին է։

    1) Եթե xn և yn երկու փոփոխականները իրենց փոփոխման ընթացքում միշտ իրար հավասար են՝ xn=yn, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

    limxn=a, limyn=b

    Ապա այդ սահմանները ևս իրար հավասար են՝ a=b։

    Անմիջապես հետևում է սահմանի միակության թեորեմից։

    Սովորաբար այս թեորեմից օգտվում են հավասարության մեջ սահմանային անցման ձևով․ xn=yn հավասարությունից եզրակացնում են , որ lim xn = lim yn:

    2) Եթե xn և yn երկու փոփոխականների համար միշտ տեղի ունի xn≥yn անհավասարությունը, ընդ որում նրանցից յուրաքանչյուրն ունի վերջավոր սահման՝

    limxn=a, limyn=b,

    ապա նաև a≥b:

    Ենթադրենք հակառակը, թող a<b: Դիտարկելով այնպես, ինչպես այս նախորդ թեմայում, a և b թվերի միջև վերցնենք մի r թիվ՝ a<r<b։ Այն ժամանակ, մի կողմից՝ կգտնվի այնպիսի N' համար,որ n>N' դեպքում կլինի xn<r, մյուս կողմից, կգտնվի նաև այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի yn>r։ Եթե այժմ N-ը վերցնենք N'-ից և N''-ից մեծ, ապա n>N դեպքում միաժամանակ տեղի կունենան երկու անհավասարությունները՝

    xn<r և yn>r

    որտեղից կբխի, որ xn<yn, որը սակայն հակասում է թեորեմի պայմանին։ Թեորեման ապացուցվեց։

    Այս թեորեման հաստատում է սահմանային անցման թույլատրելիությունն անհավասարության մեջ (հավասարության հետ միացած)։ xn≥yn անհավասարությունից կարելի է եզրակացնել lim xn≥lim yn:

    Իհարկե > նշանը կարելի է ամենուրեք փոխարինել < նշանով։

    Ընթերցողի ուշադրությունը պիտի հրավիրել այն հանգամանքի վրա, որ xn>yn խիստ անհավասարությունից, ընդհանրապես ասած, չի բխում նույնպիսի խիստ lim xn>lim yn անհավասարություն, այլ, առաջվա նման, միայն՝ lim xn≥lim yn: Այսպես, օրինակ, բոլոր n-երի համար տեղի ունի 1/n>-1/n խիստ անհավասարությունը, բայց և այնպես՝

    lim 1/n = lim (-1/n) =0:

    Փոփոխականի սահմանի գոյությունն ապացուցելիս և նրա մեծությունն որոշելիս հաճախ օգտակար է լինում հետևյալ թեորեման՝

    3) Եթե xn, yn, zn փոփոխականների համար միշտ տեղի ունեն

    xn≤yn≤zn

    անհավասարությունները, ընդ որում xn և zn փոփոխականները ձգտում են a ընդհանուր սահմանին՝

    lim xn= lim zn = a

    ապա yn փոփոխականը նույնպես ունի նույն սահմանը՝

    lim yn = a:

    Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Այդ ε-ի համար նախ կգտնվի այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում տեղի կունենա՝

    a-ε<xn<a+ε:

    Այնուհետև կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում տեղի կունենա՝

    a-ε<zn<a+ε

    N-ը վերցնելով N' և N'' թվերից մեծ, այդ անհավասարությունները կբավարարվեն միաժամանակ, ուստի և՝

    a-ε<xn≤yn≤zn<a+ε

    որից հետևում է՝

    a-ε<yn<a+ε

    կամ՝

    |yn-a|<ε

    Այսպիսով, իսկապես lim yn=a:

    Ապացուցված թեորեմից, մասնավորապես հետևում է, որ եթե բոլոր n-երի համար

    a≤yn≤zn

    և հայտնի է, որ zn->a, ապա նաև yn->a։ Ի միջի այլոց, այդ շատ հեշտ է ապացուցել նաև անմիջականորեն։

    1), 2) և 3) թեորեմները հեշտությամբ տարածվում են նաև անվերջ սահմանների դեպքի վրա։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru