Հոդվածների այցերի քանակը
105091

Լեմմաներ անվերջ փոքրերի բերաբերյալ

Հետագա թեորեմաների մեջ մենք միաժամանակ պետք է դիտարկենք երկու կամ ավելի թվով փոփոխականներ, նրանք միացնելով թվաբանական գործողությունների նշաններով։ Այդ ժամանակ, ինչպես վերևում էինք արել, այդ նշանները մենք վերագրելու ենք փոփոխականների համապատասխան արժեքներին։ Օրինակ, խոսելով xn և yn երկու փոփոխականների գումարի մասին, որոնք առանձին-առանձին վերցրած հաջորդաբար ստանում են հետևյալ արժեքները՝

x1, x2, x3, …, xn, …

և

y1, y2, y3, …, yn, …,

մենք նկատի ունենք xn+yn փոփոխականները, որը հաջորդաբար ստանում է հետևյալ արժեքները՝

x1+y1, x2+y2, x3+y3, …, xn+yn, …:

Փոփոխականների հետ թվաբանական գործողությունների արդյունքների վերոհիշյալ թեորեմաների ապացուցման ժամանակ կարևոր դեր են խաղալու հետևյալ երկու լեմմաներն անվերջ փոքրերի մասին։

1-ին լեմմա․ Ցանկացած վերջավոր թվով անվերջ թվերի գումարը նույնպես անվերջ փոքր մեծություն է։

Ապացուցենք երկու անվերջ փոքրերի դեպքի համար (ընդհանուր դեպքի համար ապացույցը նման եղանակով է)։

Դիցուք ունենք an և bn անվերջ փոքրերը։ Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Անվերջ փոքրի սահմանման համաձայն an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/2 թվին համապատասխանող այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում կլինի՝

|an|<ε/2

Ճիշտ այդպես ել, bn անվերջ փոքրի համար կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի՝

|bn|<ε/2:

Եթե N թիվը վերցնենք N' և N'' թվերից մեծ, ապա n>N դեպքում այդ երկու անհավասարությունները տեղի կունենան միաժամանակ, և կստանանք՝

|an+bn|≤|an|+|bn|<ε/2+ε/2=ε

Այդպիսով, an+bn մեծությունն իսկապես անվերջ փոքր է։

2-րդ լեմմա։ xn սահմանափակ փոփոխականի և an անվերջ փոքրի արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։

Դիցուք n-ի բոլոր արժեքների համար

|xn|<M

Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/M թվին համապատասխանող այնպիսի N համար, որ n>N դեպքում կլինի՝

|an|<ε/M:

Այդ ժամանակ այդ նույն n-երի համար կստանանք՝

|xnan|=|xn||an|<M ε/M=ε:

Այստեղից էլ հետևում է, որ xnan մեծությունն անվերջ փոքր է։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes