Լեմմաներ անվերջ փոքրերի բերաբերյալ

    Հետագա թեորեմաների մեջ մենք միաժամանակ պետք է դիտարկենք երկու կամ ավելի թվով փոփոխականներ, նրանք միացնելով թվաբանական գործողությունների նշաններով։ Այդ ժամանակ, ինչպես վերևում էինք արել, այդ նշանները մենք վերագրելու ենք փոփոխականների համապատասխան արժեքներին։ Օրինակ, խոսելով xn և yn երկու փոփոխականների գումարի մասին, որոնք առանձին-առանձին վերցրած հաջորդաբար ստանում են հետևյալ արժեքները՝

    x1, x2, x3, …, xn, …

    և

    y1, y2, y3, …, yn, …,

    մենք նկատի ունենք xn+yn փոփոխականները, որը հաջորդաբար ստանում է հետևյալ արժեքները՝

    x1+y1, x2+y2, x3+y3, …, xn+yn, …:

    Փոփոխականների հետ թվաբանական գործողությունների արդյունքների վերոհիշյալ թեորեմաների ապացուցման ժամանակ կարևոր դեր են խաղալու հետևյալ երկու լեմմաներն անվերջ փոքրերի մասին։

    1-ին լեմմա․ Ցանկացած վերջավոր թվով անվերջ թվերի գումարը նույնպես անվերջ փոքր մեծություն է։

    Ապացուցենք երկու անվերջ փոքրերի դեպքի համար (ընդհանուր դեպքի համար ապացույցը նման եղանակով է)։

    Դիցուք ունենք an և bn անվերջ փոքրերը։ Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Անվերջ փոքրի սահմանման համաձայն an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/2 թվին համապատասխանող այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում կլինի՝

    |an|<ε/2

    Ճիշտ այդպես ել, bn անվերջ փոքրի համար կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի՝

    |bn|<ε/2:

    Եթե N թիվը վերցնենք N' և N'' թվերից մեծ, ապա n>N դեպքում այդ երկու անհավասարությունները տեղի կունենան միաժամանակ, և կստանանք՝

    |an+bn|≤|an|+|bn|<ε/2+ε/2=ε

    Այդպիսով, an+bn մեծությունն իսկապես անվերջ փոքր է։

    2-րդ լեմմա։ xn սահմանափակ փոփոխականի և an անվերջ փոքրի արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։

    Դիցուք n-ի բոլոր արժեքների համար

    |xn|<M

    Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/M թվին համապատասխանող այնպիսի N համար, որ n>N դեպքում կլինի՝

    |an|<ε/M:

    Այդ ժամանակ այդ նույն n-երի համար կստանանք՝

    |xnan|=|xn||an|<M ε/M=ε:

    Այստեղից էլ հետևում է, որ xnan մեծությունն անվերջ փոքր է։

    2019 www.alphazero.ru