Հոդվածների այցերի քանակը
70547

Լեմմաներ անվերջ փոքրերի բերաբերյալ

Հետագա թեորեմաների մեջ մենք միաժամանակ պետք է դիտարկենք երկու կամ ավելի թվով փոփոխականներ, նրանք միացնելով թվաբանական գործողությունների նշաններով։ Այդ ժամանակ, ինչպես վերևում էինք արել, այդ նշանները մենք վերագրելու ենք փոփոխականների համապատասխան արժեքներին։ Օրինակ, խոսելով xn և yn երկու փոփոխականների գումարի մասին, որոնք առանձին-առանձին վերցրած հաջորդաբար ստանում են հետևյալ արժեքները՝

x1, x2, x3, …, xn, …

և

y1, y2, y3, …, yn, …,

մենք նկատի ունենք xn+yn փոփոխականները, որը հաջորդաբար ստանում է հետևյալ արժեքները՝

x1+y1, x2+y2, x3+y3, …, xn+yn, …:

Փոփոխականների հետ թվաբանական գործողությունների արդյունքների վերոհիշյալ թեորեմաների ապացուցման ժամանակ կարևոր դեր են խաղալու հետևյալ երկու լեմմաներն անվերջ փոքրերի մասին։

1-ին լեմմա․ Ցանկացած վերջավոր թվով անվերջ թվերի գումարը նույնպես անվերջ փոքր մեծություն է։

Ապացուցենք երկու անվերջ փոքրերի դեպքի համար (ընդհանուր դեպքի համար ապացույցը նման եղանակով է)։

Դիցուք ունենք an և bn անվերջ փոքրերը։ Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ Անվերջ փոքրի սահմանման համաձայն an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/2 թվին համապատասխանող այնպիսի N' համար, որ n>N' դեպքում կլինի՝

|an|<ε/2

Ճիշտ այդպես ել, bn անվերջ փոքրի համար կգտնվի այնպիսի N'' համար, որ n>N'' դեպքում կլինի՝

|bn|<ε/2:

Եթե N թիվը վերցնենք N' և N'' թվերից մեծ, ապա n>N դեպքում այդ երկու անհավասարությունները տեղի կունենան միաժամանակ, և կստանանք՝

|an+bn|≤|an|+|bn|<ε/2+ε/2=ε

Այդպիսով, an+bn մեծությունն իսկապես անվերջ փոքր է։

2-րդ լեմմա։ xn սահմանափակ փոփոխականի և an անվերջ փոքրի արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։

Դիցուք n-ի բոլոր արժեքների համար

|xn|<M

Վերցնենք ε>0 կամայական թիվը։ an անվերջ փոքրի համար կգտնվի ε/M թվին համապատասխանող այնպիսի N համար, որ n>N դեպքում կլինի՝

|an|<ε/M:

Այդ ժամանակ այդ նույն n-երի համար կստանանք՝

|xnan|=|xn||an|<M ε/M=ε:

Այստեղից էլ հետևում է, որ xnan մեծությունն անվերջ փոքր է։

Վերջին ավելացված նյութերը

Հոկտեմբերի 16 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes