Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Թվաբանական գործողություններ փոփոխականների (հաջորդականությունների) հետ

Ստորև բերվող թեորեմները կարևոր են նրանով, որ նրանց օգնությամբ շատ դեպքերում կարիք չի լինում դիմել սահման գաղափարի սահմանմանը, տվյալ ε-ի համար համապատասխան N-ը գտնելով, և այլն։ Դրանով սահմանների հաշվումն զգալի չափով հեշտանում է։

1) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn = a, lim yn =b

ապա նրանց գումարը (տարբերությունը) նույնպես սահման ունի, ընդ որում՝

lim(xn+yn)=a+b, lim(xn-yn)=a-b

Թեորեմայի պայմանից հետևում է, որ՝

xn=a+an, yn=b+bn,

որտեղ an-ը և bn-ը անվերջ փոքր են, այդ դեպքում՝

xn+yn=(a+b)+(an+bn), xn-yn=(a-b)+(an-bn):

Այստեղ an+bn (ինչպես նաև an-bn) մեծությունն անվերջ փոքր է 1-ին լեմմայի համաձայն․ հետևաբար կարելի է պնդել, որ xn+yn (xn-yn) փոփոխականն ունի a+b (համապատասխանաբար a-b) սահմանը, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Այս թեորեման ու նրա ապացույցը տարածվում են ցանկացած վերջավոր թվով գումարելիների դեպքի վրա։

2) Եթե փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn=a, lim yn=b

ապա նրանց արտադրյալը նույնպես սահման ունի և

lim xnyn=ab:

Ելնելով նույն xn= a+an, yn=b+bn հավասարություններից, այս անգամ կունենանք

xn+yn=ab+(abn+ban+anbn):

Փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, որտեղից և հետևում է, որ xnyn փոփոխականն իրոք ունի ab սահմանը։

Այս թեորեման կարելի է տարածել ցանկացած վերջավոր թվով արտադրիչների դեպքի վրա (օրինակ, մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով)։

3) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn=a, lim yn=b,

ընդ որում b-ն զրոյից տարբեր է, ապա նրանց հարաբերությունը նույնպես սահման ունի և՝

lim xn/yn=a/b:

Դիցուք, օրինակի համար, b>0. Վերցնենք 0-ի և b-ի միջև մի r թիվ։ Այդ ժամանակ, համաձայն 1) թեորեմայի, սկսած մի որոշ համարից, կունենանք՝

yn>r>0

այնպես որ yn-ը հավասար չէ 0-ի։ Սահմանափակվելով n համարի այն արժեքներով, որոնց դեպքում բավարարվում է այդ պայմանը, xn/yn հարաբերությունն իմաստ կունենա։ Այն ժամանակ, դարձյալ ելնելով xn=a+an, yn=b+bn հավասարություններից, կունենանք՝

xn/yn - a/b=(a+an)/(b+bn) - a/b = (1/byn)(ban - abn):

Աջ կողմի փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, իսկ նրա մոտ գրված բազմապատկիչը, սկզմում ասվածի շնորհիվ, սահմանափակ փոփոխական է՝

0<1/byn<1/br:

Հետևաբար, 2-րդ լեմմայի համաձայն, աջ մասի ամբողջ արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։ Սակայն նա xn/yn փոփոխականի և a/b թվի տարբերությունն է, ուրեմն, xn/yn փոփոխականի սահմանը a/b թիվն է, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Free Joomla! templates by AgeThemes