Թվաբանական գործողություններ փոփոխականների (հաջորդականությունների) հետ

    Ստորև բերվող թեորեմները կարևոր են նրանով, որ նրանց օգնությամբ շատ դեպքերում կարիք չի լինում դիմել սահման գաղափարի սահմանմանը, տվյալ ε-ի համար համապատասխան N-ը գտնելով, և այլն։ Դրանով սահմանների հաշվումն զգալի չափով հեշտանում է։

    1) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

    lim xn = a, lim yn =b

    ապա նրանց գումարը (տարբերությունը) նույնպես սահման ունի, ընդ որում՝

    lim(xn+yn)=a+b, lim(xn-yn)=a-b

    Թեորեմայի պայմանից հետևում է, որ՝

    xn=a+an, yn=b+bn,

    որտեղ an-ը և bn-ը անվերջ փոքր են, այդ դեպքում՝

    xn+yn=(a+b)+(an+bn), xn-yn=(a-b)+(an-bn):

    Այստեղ an+bn (ինչպես նաև an-bn) մեծությունն անվերջ փոքր է 1-ին լեմմայի համաձայն․ հետևաբար կարելի է պնդել, որ xn+yn (xn-yn) փոփոխականն ունի a+b (համապատասխանաբար a-b) սահմանը, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Այս թեորեման ու նրա ապացույցը տարածվում են ցանկացած վերջավոր թվով գումարելիների դեպքի վրա։

    2) Եթե փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

    lim xn=a, lim yn=b

    ապա նրանց արտադրյալը նույնպես սահման ունի և

    lim xnyn=ab:

    Ելնելով նույն xn= a+an, yn=b+bn հավասարություններից, այս անգամ կունենանք

    xn+yn=ab+(abn+ban+anbn):

    Փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, որտեղից և հետևում է, որ xnyn փոփոխականն իրոք ունի ab սահմանը։

    Այս թեորեման կարելի է տարածել ցանկացած վերջավոր թվով արտադրիչների դեպքի վրա (օրինակ, մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով)։

    3) Եթե xn և yn փոփոխականներն ունեն վերջավոր սահմաններ՝

    lim xn=a, lim yn=b,

    ընդ որում b-ն զրոյից տարբեր է, ապա նրանց հարաբերությունը նույնպես սահման ունի և՝

    lim xn/yn=a/b:

    Դիցուք, օրինակի համար, b>0. Վերցնենք 0-ի և b-ի միջև մի r թիվ։ Այդ ժամանակ, համաձայն 1) թեորեմայի, սկսած մի որոշ համարից, կունենանք՝

    yn>r>0

    այնպես որ yn-ը հավասար չէ 0-ի։ Սահմանափակվելով n համարի այն արժեքներով, որոնց դեպքում բավարարվում է այդ պայմանը, xn/yn հարաբերությունն իմաստ կունենա։ Այն ժամանակ, դարձյալ ելնելով xn=a+an, yn=b+bn հավասարություններից, կունենանք՝

    xn/yn - a/b=(a+an)/(b+bn) - a/b = (1/byn)(ban - abn):

    Աջ կողմի փակագծերի ներսի արտահայտությունը, 1-ին և 2-րդ լեմմաների շնորհիվ, անվերջ փոքր մեծություն է, իսկ նրա մոտ գրված բազմապատկիչը, սկզմում ասվածի շնորհիվ, սահմանափակ փոփոխական է՝

    0<1/byn<1/br:

    Հետևաբար, 2-րդ լեմմայի համաձայն, աջ մասի ամբողջ արտադրյալն անվերջ փոքր մեծություն է։ Սակայն նա xn/yn փոփոխականի և a/b թվի տարբերությունն է, ուրեմն, xn/yn փոփոխականի սահմանը a/b թիվն է, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru