Անորոշ արտահայտություններ

    Նախորդ թեմայում մենք դիտարկեցինք հետևյալ արտահայտությունները՝

    xn+yn, xn-yn, xnyn, xn/yn

    և ենթադրելով, որ xn և yn փոփոխականները ձգտում են վերջավոր սահմանների (որտեղ yn-ի սահմանը քանորդի ժամանակ չպետք էր հավասարվեր զրոյի), մենք որոշեցինք այդ արտահայտություններից յուրաքանչյուրի սահմանը։

    Այժմ կանգ առնենք այն դեպքի վրա, որոնք այնտեղ թողել էինք առանց քննարկման, այն է՝ երբ xn և yn փոփոխականների սահմանները (մեկը կամ երկուսն էլ) անվերջ են, կամ եթե խոսքը քանորդի մասին է, երբ հայտարարի սահմանը զրո է։

    1․ Սկսենք xn/yn քանորդից և ենթադրենք, թե xn և yերկու փոփոխականները ձգտում են զրոյի։ Այստեղ մենք առաջին անգամ հանդիպում ենք բոլորովին առանձնահատուկ մի երևույթի, չնայած մեզ հայտնի են xn-ի և yn-ի սահմանները, սակայն նրանց հարաբերության սահմանի մասին ոչ մի ընդհանուր եզրակացություն անել չենք կարող, եթե մեզ հայտնի չեն հենց այդ փոփոխականներն իրենք։ Այդ սահմանը, նայած, թե այդ երկու փոփոխականներն ինչ մասնակի օրենքով են փոփոխվում, կարող է տարբեր արժեքներ ունենալ, կամ նույնիսկ ամենևին գոյություն չունենալ։ Ստորև բերվող պարզ օրինակները պարզաբանում են հենց այդ հանգամանքը։

    Ենթադրենք, օրինակ, xn=1/n2, yn=1/n. Երկուսն էլ ձգտում են զրոյի․ նրանց հարաբերությունը՝ xn/yn=1/n նույնպես ձգտում է զրոյի։ Եթե, ընդհակառակն, ընդհունենք xn=1/n, yn=1/n2, ապա, չնայած նրանք դարձյալ զրոյի են ձգտում, սակայն նրանց հարաբերությունը՝ xn/yn=n ձգտում է +∞։ Իսկ եթե վերցնենք զրոյից տարբեր որևէ a թիվ և կառուցենք xn= a/n, yn= 1/n երկու անվերջ փոքրերը, ապա կտեսնենք, որ նրանց հարաբերությունն ունի a սահմանը (քանի որ նույնաբար հավասար է a-ի): Վերջապես, եթե ընդունենք xn=(-1)n+1/n, yn=1/n, որոնք երկուսն էլ ունեն դարձյալ զրո սահմանը, ապա նրանց հարաբերությունը՝ xn/yn=(-1)n+1 ոչ մի սահման չունի։

    Այսպիսով, xn և yn փոփոխականների մասին սահմաններն իմանալով, տվյալ դեպքում, հնարավոր չէ դատել նրանց հարաբերության վարքի մասին․ անհրաժեշտ է իմանալ հենց այդ ֆունկցիաներն՝ իրենք, այսինքն՝ նրանց փոփոխման օրենքները n-ից կախված, և անմիջականորեն հետազոտել xn/yn հարաբերությունը։ Որպեսզի բնութագրեն այդ առանձնահատկությունը, ասում են, որ երբ xn->0, yn->0, այդ ժամանակ xn/yn արտահայտությունը ներկայացնում է 0/0 տեսքի անորոշություն։

    2․ Այն դեպքում, երբ միաժամանակ xn->+/- ∞ և yn-> +/- ∞, նման երևույթ տեղի ունի։ Չիմանալով այդ ֆունկցիաներն՝ իրենք, նրանց հարաբերության վարքի մասին ընդհանուր եզրակացություն անել չի կարելի։ Դրանում կարելի է համոզվել այնպիսի օրինակներով, որոնք 1․-ում բերված օրինակների անալոգներն են․

    xn=n ->+∞ yn=n2 ->+∞ xn/yn=1/n ->0:

    xn=n2->+∞ yn=n ->+∞ xn/yn=1/n ->+∞:

    xn=an->+/- ∞ (a>0 կամ a<0) yn=n->+∞ xn/yn=a->a

    xn=(2+(-1)n)n->+∞, yn=n->+∞ xn/yn=2+(-1)n սահման չունի։

    Այս դեպքում ևս ասում են, որ xn/yn արտահայտությունը ներկայացնում է անորոշություն, այս անգամ՝ ∞/∞ տեսքի։

    Անցնենք xnyn արտադրյալի դիտարկմանը։

    3. Եթե xn-ը ձգտում է զրոյի, իսկ yn-ը՝ ∞, ապա հետազոտելով xnyn արտադրյալի վարքը, մենք հանդիպում ենք ճիշտ այնպիսի առանձնահատկության, ինչ որ 1-ում ու 2․ում։ Այդ մասին վկայում են հետևյալ օրինակները՝

    xn=1 / n2 ->0, yn =n->+∞, xnyn=1/n ->0:

    xn= 1/n ->0, yn=n2 ->+∞, xnyn=n ->+∞

    xn= a/n->0, (a>0 կամ a<0) yn=n->+∞, xnyn=a->a:

    xn=(-1)n+1/n ->0, yn=n ->+∞, xnyn = (-1)n+1 սահման չունի։

    Այդ կապակցությամբ, xn->0, yn->∞ դեպքում ասում են, որ արտահայտությունը ներկայացնում է 0 ⋅ ∞ տեսքի անորոշություն։

    Դիտարկենք, վերջապես, xn+yn գումարը։

    4․ Այստեղ առանձնահատուկ է այն դեպքը, երբ xn-ը և yn-ը ձգտում են տարբեր նշանով անվերջությունների․ xn+yn գումարի մասին ոչինչ որոշակի չի կարելի ասել, չիմանալով xn-ը և yn-ը։ Այստեղ պատահող զանազան հնարավորությունների մասին կարելի է պատկերացնել հետևյալ օրինակների օգնությամբ՝

    xn=2n->+∞, yn=-n->-∞, xn+yn = n->+∞:

    xn=n->+∞, yn=-2n->-∞, xn+yn =-n->-∞:

    xn=n+a->+∞, yn=-n->-∞, xn+yn=a->a:

    xn=n+(-1)n+1->+∞, yn=-n->-∞, xn+yn=(-1)n+1, որը սահման չունի։

    Այդ բոլորը նկատի ունենալով, ասում են, որ երբ xn->+∞ և yn->-∞, xn+yn արտահայտությունը ներկայացնում է -տեսքի անորոշություն։

    Այսպիսով, xn և yn փոփոխականների սահմաններով որոշել xn+yn, xn-yn, xnyn, xn/yn թվաբանական արտահայտությունների սահմանները ոչ միշտ է հնարավոր․ մենք հանդիպեցինք չորս դեպքի, երբ այդ կատարել հնարավոր չէ․ դրանք հետևյալ չորս տեսքի անորոշություններն են՝

    0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞-∞

    Այդ դեպքերում պետք է, հաշվի առնելով xn և yn փոփոխականների փոփոխման օրենքը, անմիջականորեն հետազոտել մեզ հետաքրքրող արտահայտությունը։ Այդպիսի հետազոտությունն ստացել է անորոշությունների բացում անունը։ Ամենևին ոչ միշտ է այդ այդպես պարզ, ինչպես վերևում բերված սխեմատիկ օրինակներում։

    2019 www.alphazero.ru