Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63401

Հաջորդականության անորոշությունների տարածումը կամայական փոփոխականի ֆունկցիաների դեպքի վրա

Նորից դիտողություն անենք ընդհանուր դեպքի վերաբերյալ։ Քանի որ այստեղ մենք ի նկատի ունենք այնպիսի թեորեմներ, որոնց մեջ փոփոխականները կապվում են հավասարության, անհավասարության թվաբանական գործողությունների նշաններով, ամենից առաջ պետք է պայմանավորվենք, որ այդպիսի նշաններով երկու կամ մի քանի՝ f(x), g(x), … ֆունկցիաներ, (որոնք որոշված են X տիրույթում), մենք միշտ ենթադրում ենք, որ նրանց արժեքները համապատասխանում են x-ի միևնույն արժեքներին։

Այդ բոլոր թեորեմները կարելի է նորից ապացուցել այնպես, ինչպես այդ արեցինք սահմանի հատկություններն ընդհանրացնելիս, սակայն, և այդ կարևոր է ընդգծել, իրականում դրանց վերապացուցման անհրաժեշտությունն ամենևին չկա։ Եթե, խոսելով ֆունկցիայի սահմանի մասին, կանգնենք «հաջորդականությունների տեսակետի» վրա, ապա քանի որ n նշիչից կախված փոփոխականների համար թեորեմներն ապացուցված են, նրանք ճիշտ կլինեն նաև ընդհանուր դեպքում կամայական արգումենտի ֆունկցիաների համար։

Օրինակի համար կանգ առնենք հաջորդականության թվաբանական գործողությունների թեմայի 1), 2), 3) թեորեմների վրա.

Դիցուք X տիրույթում (a խտացման կետով) տրված են երկու ֆունկցիաներ՝ f(x) և g(x) և x-ը a-ին ձգտելիս երկուսն էլ ունեն վերջավոր սահմաններ՝

limf(x)=a, limg(x)=b։

Այդ դեպքում

f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x)

ֆունկցիաները նույնպես ունեն վերջավոր սահմաններ (քանորդի դեպքում ենթադրելով, որ B-ն հավասար չէ 0-ի), այն է՝

A+B, A-B, AB, A/B

սահմանները։

Այդ առնչությունները «հաջորդականությունների լեզվով» կարտահայտվեն այսպես․ եթե {xn} X-ից վերցրած x-ի (a-ից տարբեր) արժեքների ցանկացած հաջորդականություն է, որն ունի a սահմանը, ապա՝

f(xn)->A, g(xn)->B։

Եթե այս երկու ֆունկցիաների նկատմամբ, որոնք արդեն կախված են n բնական արգումենտից, կիրառենք ապացուցված թեորեմները, ապա անմիջապես կստանանք՝

lim(f(xn)+g(xn))=A+B, lim(f(xn)-g(xn))=A-B, lim(f(xn)g(xn))=AB, lim f(xn)/g(xn)=A/B

իսկ այս էլ հենց հաջորդականությունների լեզվով») արտահայտում է այն, ինչ որ պետք էր ապացուցել։

Նույն ձևով, այժմ դիտարկվող ընդհանուր դեպքի վրա տարածվում են նաև հաջորդականության անորոշություններ բաժնի ասածները «անորոշ արտահայտությունների» վերաբերյալ, որոնք բնութագրվում են հետևյալ պայմանանշաններով՝

0/0, ∞/∞, 0*∞, ∞-∞

Ինչպես և պարզագույն դեպքում, երբ գործ ունենք բնական արգումենտի ֆունկցիաների հետ, այստեղ «անորոշությունը բացելու» համար արդեն բավական չէ գիտենալ միայն f(x) և g(x) ֆունկցիաների սահմանները, այլ պետք է հաշվի առնել նաև նրանց փոփոխման բուն օրենքը։ 

Մենք այդ հարցին կանրադառնանք անորոշությունների բացման թեմայում, որտեղ կտրվեն անորոշություններ բացելու ընդհանուր եղանակներ՝ արդեն դիֆերենցիալ հաշվի կիրառումով։

Free Joomla! templates by AgeThemes