Բնական արգումենտի մոնոտոն ֆունկցիայի սահմանը

    Ֆունկցիաների սահմանների վերաբերյալ մինչև այժմ բերված թեորեմներն այնպիսի բնույթ ունեին․ ենթադրելով որոշ ֆունկցիաների սահմանների գոյությունը, ապացուցում էինք սահմանների գոյությունն այլ ֆունկցիաների, որոնք այս կամ այն կերպ կապված էին առաջինների հետ։ Տրված ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի գոյության հայտանիշների հարցը, չկապված այլ ֆունկցիաների հետ, մինչև այժմ չի դրվել։ Այդ հարցի ընդհանուր լուծումը թողնելով մինչև համապատասխան թեման, այստեղ դիտարկենք ֆունկցիաների մի պարզ ու կարևոր դաս, որի համար այդ հարցը հեշտությամբ լուծվում է։ Ինչպես միշտ, սկսենք պարզագույն դեպքից՝ բնական արգումենտի xn ֆունկցիայից։

    xn փոփոխականը կոչվում է աճող, եթե՝

    x1<x2<...<xn<xn+1<...

    Այսինքն՝ n'>n պայմանից հետևում է xn'>xn: Այն անվանում են չնվազող, եթե՝

    x1≤x2≤...≤xn≤xn+1≤...,

    այսինքն՝ n'>n պայմանից հետևում է միայն xn'xn: Երկրորդ դեպքում էլ կարելի է փոփոխականն աճող անվանել, եթե այդ տերմինին ավելի լայն իմաստ վերագրենք։

    Նման ձևով սահմանվում է նվազող (նեղ կամ լայն իմաստով) փոփոխականի գաղափարը․ այդպես է կոչվում այն xn փոփոխականը, որի համար, համապատասխանորեն,

    x1>x2>...>xn>xn+1>...

    կամ՝

    x1≥x2≥...≥xn≥xn+1≥...,

    այնպես, որ n'>n պայմանից հետևում է (նայած դեպքին) xn'<xn կամ xn'≤xn:

    Այս բոլոր տեսակի փոփոխականները, որոնք n-ի աճման հետ փոփոխվում են մեկ ուղղությամբ, միավորվում են մի ընդհանուր անվան տակ՝ կոչվում են մոնոտոն փոփոխականներ։ Սովորաբար այդպիսի փոփոխականի մասին ասում են, որ նա «մոնոտոն աճում է» կամ «մոնոտոն նվազում է»։

    n բնական նշիչից կախված xn փոփոխականի հետ միաժամանակ, համապատասխան դեպքում, աճող կամ նվազող է կոչվում նաև նրա ընդունելիք արժեքների՝

    x1, x2, x3, …, xn, …

    հաջորդականությունը։

    Մոնոտոն փոփոխականի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեման։

    Թեորեմա։ Դիցուք տրված է xn մոնոտոն աճող փոփոխականը։ Եթե նա վերևից սահմանափակ է՝

    xn<M (M=const, n=1, 2, 3, …)

    ապա անհրաժեշտաբար ունի վերջավոր սահման, հակառակ դեպքում ձգտում է +∞։

    Ճիշտ այդպես էլ, միշտ սահման ունի նաև xn մոնոտոն նվազող փոփոխականը․ նրա սահմանը վերջավոր է, եթե նա ներքևից սահմանափակ է, հակառակ դեպքում նա ձգտում է -∞։

    Ապացուցում։ Սահմանափակվենք աճող, թեկուզ և լայն առումով, փոփոխականի դեպքով (նվազող փոփոխականի դեպքն ապացուցվում է համանման եղանակով)։

    Նախ ընդունենք, որ տրված xn փոփոխականը վերևից սահմանափակ է։ Այդ դեպքում, թվային բազմության եզրերի թեորեմայի համաձայն, նրա արժեքների {xn} բազմության համար պետք է գոյություն ունենա (վերջավոր) ճշգրիտ եզր՝

    a=sup{xn}.

    Ինչպես հիմա ցույց տանք, հենց այդ a թիվն էլ կլինի xn փոփոխականի սահմանը։

    Իրոք, հիշենք վերին ճշգրիտ եզրի բնորոշ հատկությունները (այստեղ)։ Նախ n-ի բոլոր արժեքների համար կլինի՝

    xn≤a,

    և ապա, ինչպիսին էլ լինի ε>0 թիվը, կգտնվի մեր փոփոխականի այնպիսի արժեք, սաենք թե xN, որը կգերազանցի a-ε թիվը՝

    xN>a-ε

    Քանի որ xn փոփոխականի մոնոտոնության շնորհիվ (այստեղ մենք առաջին անգամ հենվում ենք դրա վրա), n>N դեպքում xn≥xN և առավել ևս՝ xn>a-ε, ապա n-ի այդ արժեքների համար տեղի կունենա հետևյալ անհավասարությունները՝

    0≤a-xn<ε, այնպես որ՝ |xn-a|<ε,

    որտեղից և հետևում է, որ lim xn=a:

    Դիցուք այժմ xn փոփոխականը վերևից սահմանափակ չէ։ Այդ դեպքում, որքան էլ մեծ լինի E>0 թիվը, կգտնվի xn փոփոխականի թեկուզ մեկ արժեք, որը մեծ կլինի E-ից․ դիցուք այդ արժեքը xN-ն է։ Այդ դեպքում, xn փոփոխականի մոնոտոնության շնորհիվ, n>N դեպքում առավել ևս

    xn>E,

    իսկ դա էլ հենց նշանակում է, որ lim xn = +∞

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru