Ներդրված միջակայքերի լեմման

    Այժմ կանգ առնենք իրար «հանդիպակաց» ուղղությամբ փոփոխվող երկու մոնոտոն փոփոխականների զուգակցման վրա։
    Դիցուք տրված են մոնոտոն աճող xn փոփոխականը և մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը, ընդ որում միշտ՝

    xn<yn:

    Եթե նրանց yn-xn տարբերությունը ձգտում է զրոյի, ապա երկու փոփոխականներն ունեն մի ընդհանուր վերջավոր սահման՝

    c=lim xn=lim yn:

    Իսկապես, xn<yn պայմանից բխում է, որ

    xn<yn≤y1

    և

    yn>xn≥x1,

    այնպես, որ մոնոտոն աճող xn փոփոխականը սահմանափակ է վերևից, իսկ մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը՝ ներքևից, հետևաբար, նրանք երկուսն էլ ունեն վերջավոր սահմաններ՝

    lim xn = c և lim yn = c':

    Սակայն մեր արդեն դիտարկված թեորեմայի համաձայն ունենք՝

    c-c'= lim(yn-xn),

    որը, պայմանի համաձայն հավասար է զրոյի։ Ուրեմն c'=c, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Ապացուցած թեորեմային կարելի է տալ ուրիշ ձև, որն ավելի հաճախ է կիրառվում։

    Պայմանավորվենք ասել, որ [a', b'] միջակայքը պարունակվում է կամ ներդրված է [a, b] միջակայքում, եթե առաջին միջակայքի բոլոր կետերը պատկանում են երկրորդ միջակայքին, կամ, որ միևնույնն է, եթե

    a≤a'<b'≤b:

    Դրա երկրաչափական իմաստը պարզ է։

    Դիցուք մենք ունենք ներդրված միջակայքերի մի անվերջ հաջորդականություն՝

    [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …

    որոնցից յուրաքանչյուրը ներդրված է իր նախորդի մեջ, ընդ որում նրանց երկարությունները, երբ n-ը աճում է, ձգտում է զրոյի՝

    lim (bn-an)=0

    Այդ դեպքում միջակայքերի an և bn ծայրակետերը (տարբեր կողմերից) ձգտում են ընդհանուր սահմանի՝

    c= lim an= lim bn,

    որը բոլոր միջակայքերի համար միակ ընդհանուր կետն է։

    Այս՝ վերևում ապացուցված թեորեմայի նոր ձևակերպումն է․ պայմանի համաձայն՝

    an≤an+1<bn+1≤bn,

    այնպես որ, n-րդ միջակայքի an ձախ ծայրը և bn աջ ծայրն այստեղ xn և yn մոնոտոն փոփոխականների դեր են կատարում։

    Քանի որ an-ը c-ին ձգտում է աճելով, իսկ bn-ը՝ նվազելով, ապա

    an≤c≤bn (n=1, 2, 3,...),

    Այսինքն՝ c կետն իրոք որ պատկանում է բոլոր միջակայքերին։

    Միևնույն ժամանակ, չի կարող լինել c-ից տարբեր մի այլ c' կետ, որն ունենա միևնույն հատկությունները, այլապես կլիներ

    bn-an≥|c'-c|>0

    և n-րդ միջակայքի երկարությունը չեր կարող զրոյի ձգտել։

    Հետագայում մենք հաճախ ենք հենվելու այս առաջադրության վրա, որն անվանելու ենք «ներդրված միջակայքերի լեմմա»։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru