Ներդրված միջակայքերի լեմման

Տպել

Այժմ կանգ առնենք իրար «հանդիպակաց» ուղղությամբ փոփոխվող երկու մոնոտոն փոփոխականների զուգակցման վրա։
Դիցուք տրված են մոնոտոն աճող xn փոփոխականը և մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը, ընդ որում միշտ՝

xn<yn:

Եթե նրանց yn-xn տարբերությունը ձգտում է զրոյի, ապա երկու փոփոխականներն ունեն մի ընդհանուր վերջավոր սահման՝

c=lim xn=lim yn:

Իսկապես, xn<yn պայմանից բխում է, որ

xn<yn≤y1

և

yn>xn≥x1,

այնպես, որ մոնոտոն աճող xn փոփոխականը սահմանափակ է վերևից, իսկ մոնոտոն նվազող yn փոփոխականը՝ ներքևից, հետևաբար, նրանք երկուսն էլ ունեն վերջավոր սահմաններ՝

lim xn = c և lim yn = c':

Սակայն մեր արդեն դիտարկված թեորեմայի համաձայն ունենք՝

c-c'= lim(yn-xn),

որը, պայմանի համաձայն հավասար է զրոյի։ Ուրեմն c'=c, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Ապացուցած թեորեմային կարելի է տալ ուրիշ ձև, որն ավելի հաճախ է կիրառվում։

Պայմանավորվենք ասել, որ [a', b'] միջակայքը պարունակվում է կամ ներդրված է [a, b] միջակայքում, եթե առաջին միջակայքի բոլոր կետերը պատկանում են երկրորդ միջակայքին, կամ, որ միևնույնն է, եթե

a≤a'<b'≤b:

Դրա երկրաչափական իմաստը պարզ է։

Դիցուք մենք ունենք ներդրված միջակայքերի մի անվերջ հաջորդականություն՝

[a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …

որոնցից յուրաքանչյուրը ներդրված է իր նախորդի մեջ, ընդ որում նրանց երկարությունները, երբ n-ը աճում է, ձգտում է զրոյի՝

lim (bn-an)=0

Այդ դեպքում միջակայքերի an և bn ծայրակետերը (տարբեր կողմերից) ձգտում են ընդհանուր սահմանի՝

c= lim an= lim bn,

որը բոլոր միջակայքերի համար միակ ընդհանուր կետն է։

Այս՝ վերևում ապացուցված թեորեմայի նոր ձևակերպումն է․ պայմանի համաձայն՝

an≤an+1<bn+1≤bn,

այնպես որ, n-րդ միջակայքի an ձախ ծայրը և bn աջ ծայրն այստեղ xn և yn մոնոտոն փոփոխականների դեր են կատարում։

Քանի որ an-ը c-ին ձգտում է աճելով, իսկ bn-ը՝ նվազելով, ապա

an≤c≤bn (n=1, 2, 3,...),

Այսինքն՝ c կետն իրոք որ պատկանում է բոլոր միջակայքերին։

Միևնույն ժամանակ, չի կարող լինել c-ից տարբեր մի այլ c' կետ, որն ունենա միևնույն հատկությունները, այլապես կլիներ

bn-an≥|c'-c|>0

և n-րդ միջակայքի երկարությունը չեր կարող զրոյի ձգտել։

Հետագայում մենք հաճախ ենք հենվելու այս առաջադրության վրա, որն անվանելու ենք «ներդրված միջակայքերի լեմմա»։

Tags: , , ,