Մոնոտոն ֆունկցիայի սահմանն ընդհանուր դեպքում

    Նորից վերադառնանք կամայական փոփոխականի f(x) ֆունկցիայի դիտարկմանը։ Այստեղ նույնպես ֆունկցիայի

    \[\lim\limits_{x \to a}f(x)\]

    սահմանի գոյության հարցն առանձնապես հեշտությամբ է լուծվում այն մասնավոր դեպքի ֆունկցիաների համար, որոնք հանդիսանում են xn մոնոտոն փոփոխականի գաղափարի ընդհանրացումը։

    Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է մի X={x} տիրույթում։ Ֆունկցիան կոչվում է աճող (նվազող) այդ տիրույթում, եթե վերջինիս պատկանող յուրաքանչյուր զույգ x և x' արժեքների համար x'>x պայմանից հետևում է f(x')>f(x) [համապատասխանաբար նվազողի դեպքում f(x')<f(x)]:

    Իսկ եթե x'>x պայմանից հետևում է միայն f(x')≥f(x) [f(x')≤f(x)], ապա ֆունկցիան կոչվում է չնվազող [չաճող]։ Երբեմն այս դեպքում էլ հարմար է ֆունկցիան անվանել աճող (նվազող), սակայն լայն իմաստով։ Բոլոր այս տիպի ֆունկցիաները կրում են մոնոտոն ընդհանուր անունը։ Մոնոտոն ֆունկցիայի համար գոյություն ունի մի թեորեմա, որը այս թեմայում xn մոնոտոն փոփոխականի վերաբերյալ ապացուցված թեորեմայի անալոգն է։

    Թեորեմա։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան մոնոտոն աճում է, թեկուզ լայն իմաստով, X տիրույթում, որն ունի a խտացման կետը, ընդ որում a-ն x-ի բոլոր արժեքներից մեծ է (կարող է լինել վերջավոր կամ +∞)։ Եթե այդ ժամանակ ֆունկցիան վերևից սահմանափակ է՝ f(x)≤M (x-ի բոլոր արժեքների համար X-ից), ապա երբ x->a, ֆունկցիան կունենա վերջավոր սահման, հակառակ դեպքում նա կձգտի +∞։

    Ապացույց։ Նախ ընդունենք, որ f(x) ֆունկցիան վերևից սահմանափակ է, այսինքն՝ վերևից սահմանափակ է ֆունկցիայի այն արժեքների {f(x)} բազմությունը, որոնք համապատասխանում են x-ի փոփոխմանը X տիրությում։ Այդ դեպքում այդ բազմության համար գոյություն ունի A վերջավոր ճշգրիտ վերին եզր։ Ապացուցենք, որ հենց այդ A թիվը կլինի որոնելի սահմանը։

    Վերցնենք կամավոր ε>0 թիվը, ճշգրիտ վերին եզրի եզրի սահմանման հանաձայն, կգտնենք այնպիսի x'<a արժեք, որ f(x')>A-ε: Ֆունկցիայի մոնոտոնության հետևանքով, x'<x-ի արժեքների համար առավել ևս կլինի f(x)>A-ε: Մյուս կողմից, քանի որ միշտ f(x)≤A<A+ε, հետևապես x-ի վերոհիշյալ արժեքների համար տեղի կունենա

    |f(x)-A|<ε

    անհավասարությունը։

    Հենց սա էլ ապացուցում ե մեր թեորեման, բավական է միայն վերջավոր a-ի դեպքում ընդունել x'=a-δ (այսինքն՝ δ=a-x'), իսկ երբ a=+∞, վերցնել d=x':
    Եթե f(x) ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ, ապա, ինչպիսին էլ լինի E թիվը, միշտ կգտնվի այնպիսի x', որ f(x')>E, այդ դեպքում x'<x-ի արժեքների համար առավել ևս f(x)>E, և այլն։

    Առսջարկվում է ընթերցողին՝ այս թեորեման ձևակերպել այն դեպքի համար, երբ a սահմանային արժեքը փոքր է x-ի բոլոր արժեքներից, ինչպես նաև այն դեպքի համար, երբ ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է։

    Պարզ է, որ xn մոնոտոն փոփոխականի վերաբերյալ ապացուցածը այս թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։ Այստեղ անկախ փոփոխականը n նշիչն էր, որի փոփոխման տիրույթը հանդիսանում էր N={n} բնական շարքը՝ +∞ խտացման կետով։

    Հետագայում հաճախ կարիք է լինելու որպես X տիրույթ, որտեղ դիտարկվում է f(x) ֆունկցիան, վերցնել [a', a) անընդմեջ միջակայքը, որտեղ a'<a և a-ն վերջավոր թիվ է, կամ +∞, կամ թե՝ (a, a'] միջակայքը, որտեղ a'>a և a-ն վերջավոր թիվ է կամ-∞։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru