e թվի մոտավոր հաշվումը

    Վերադառնանք

    \[x_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + n⋅\frac1n + \frac{n(n-1)}{1⋅2}⋅\frac1{n^2}+\]

    \[+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1⋅2⋅3}⋅\frac1{n^3}+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅k}⋅\frac1{n^k}+...\]

    \[...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅n}⋅\frac{1}{n^n}=1+1+\frac1{2!}\left( 1-\frac1n \right)+\]

    \[+\frac1{3!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)+...+\frac1{k!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)...\]

    \[...\left(1-\frac{k-1}n\right)+...+\frac1{n!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)...\left(1-\frac{n-1}n\right)\]

    հավասարությանը, եթե k-ն սևեռենք (պահպանենք հաստատուն) և համարենք n>k, վերջին մասի k+1-րդ անդամին հաջորդող բոլոր անդամները դեն նետենք, ապա կստանանք հետևյալ անհավասարությունը՝

    \[x_n > 2+ \frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n}\right) +...\]

    \[... +\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n}\right)...\left( 1 – \frac{k-1}{n}\right)\]

    Անցնենք սահմանին, n-ը ձգտեցնելով անվարջության, քանի որ բոլոր փակագծերի ներսի արտահայտությունները ձգտում են 1-ի, ուստի կունենանք՝

    \[e ≥ 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{k!}=y_k\]

    Այս անհավասարությունը տեղի ունի ամեն մի բնական k-ի համար։ Այսպիսով ունենք

    \[x_n < y_n ≤ e\]

    Որտեղից հետևում է (սահմանային անցման դասի 3-րդ թեորեմայի համաձայն) որ նաև

    \[\lim_{n \to +\infty} y_n = e\]

    e թվի մոտավոր հաշվման համար yn փոփոխականը շատ ավելի հարմար է, քան xn-ը։ Գնահատենք yn-ին հաջորդող արևէ yn+m արժեքի և yn-ի տարբերությունը։ Ունենք՝

    \[y_{n+m}-y_n = \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{1}{(n+2)!}+ ...+\frac{1}{(n+m)!}=\]

    \[= \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 +\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)...(n+m)} \right] :\]

    եթե [...] փակագծերի ներսը հայտարարների բոլոր արտադրիչները փոխարինենք (n+2)-ով, կունենանք հետևյալ անհավասարությունը՝

    \[y_{n+m}-y_n < \frac{1}{(n+1)!}\left[ 1+ \frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\frac{1}{(n+2)^3}+...+ \frac{1}{(n+2)^{m-1}}\right] ,\]

    որը միայն կուժեղանա, եթե փակագծերը փոխարինենք անվերջ պրոգրեսիայի գումարով՝

    \[y_{n+m} – y_n < \frac{1}{(n+1)!} \frac{n+2}{n+1}:\]

    Այստեղ n-ը անփոփոխ պահելով, m-ը մեծացնենք մինչև անվերջություն․ m նշիչով համարակալված yn+m փոփոխականը հաջորդաբար կունենա հետևյալ արժեքները՝

    yn+1, yn+2, yn+3, …, yn+m, …,

    որոնք, ակներևաբար, ձգտում են e-ին։ Ուստի սահմանում ստանում ենք՝

    \[e- y_n ≤ \frac{1}{(n+1)!}\frac{n+2}{n+1}\]

    կամ, քանի որ (n+2)/(n+1)2 < 1/n (այդ հեշտ է ստուգել), վերջապես կունենանք՝

    \[e-y_n < \frac{1}{n!n}\]

    Եթե e-yn տարբերության և 1/(n!n) թվի հարաբերությունը նշանակենք θ-ով, (ակներևաբար 0<θ<1), կարելի կլինի գրել՝

    \[e- y_n = \frac{θ}{n!n}:\]

    Այստեղ yn-ը փոխարինելով իր լրիվ արտահայտությամբ, մենք կստանանք հենց այն կարևոր բանաձևը՝

    \[e= 1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+...+\frac1{n!}+\frac{θ}{n!n}\]

    Որը ելակետ կծառայի e թիվը հաշվելու համար։ Դեն նետելով վերջին «լրացուցիչ» անդամը և մնացած յուրաքանչյուր անդամ փոխարինելով իր տասնորդական մոտավորությամբ, մենք հենց դրանով էլ կստանանք e թվի մոտավոր արժեքը։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru