Վերադառնանք
հավասարությանը, եթե k-ն սևեռենք (պահպանենք հաստատուն) և համարենք n>k, վերջին մասի k+1-րդ անդամին հաջորդող բոլոր անդամները դեն նետենք, ապա կստանանք հետևյալ անհավասարությունը՝
Անցնենք սահմանին, n-ը ձգտեցնելով անվարջության, քանի որ բոլոր փակագծերի ներսի արտահայտությունները ձգտում են 1-ի, ուստի կունենանք՝
Այս անհավասարությունը տեղի ունի ամեն մի բնական k-ի համար։ Այսպիսով ունենք
Որտեղից հետևում է (սահմանային անցման դասի 3-րդ թեորեմայի համաձայն) որ նաև
e թվի մոտավոր հաշվման համար yn փոփոխականը շատ ավելի հարմար է, քան xn-ը։ Գնահատենք yn-ին հաջորդող արևէ yn+m արժեքի և yn-ի տարբերությունը։ Ունենք՝
եթե [...] փակագծերի ներսը հայտարարների բոլոր արտադրիչները փոխարինենք (n+2)-ով, կունենանք հետևյալ անհավասարությունը՝
որը միայն կուժեղանա, եթե փակագծերը փոխարինենք անվերջ պրոգրեսիայի գումարով՝
Այստեղ n-ը անփոփոխ պահելով, m-ը մեծացնենք մինչև անվերջություն․ m նշիչով համարակալված yn+m փոփոխականը հաջորդաբար կունենա հետևյալ արժեքները՝
yn+1, yn+2, yn+3, …, yn+m, …,
որոնք, ակներևաբար, ձգտում են e-ին։ Ուստի սահմանում ստանում ենք՝
կամ, քանի որ (n+2)/(n+1)2 < 1/n (այդ հեշտ է ստուգել), վերջապես կունենանք՝
Եթե e-yn տարբերության և 1/(n!n) թվի հարաբերությունը նշանակենք θ-ով, (ակներևաբար 0<θ<1), կարելի կլինի գրել՝
Այստեղ yn-ը փոխարինելով իր լրիվ արտահայտությամբ, մենք կստանանք հենց այն կարևոր բանաձևը՝
Որը ելակետ կծառայի e թիվը հաշվելու համար։ Դեն նետելով վերջին «լրացուցիչ» անդամը և մնացած յուրաքանչյուր անդամ փոխարինելով իր տասնորդական մոտավորությամբ, մենք հենց դրանով էլ կստանանք e թվի մոտավոր արժեքը։