e թվի մոտավոր հաշվումը

Տպել

Վերադառնանք

\[x_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + n⋅\frac1n + \frac{n(n-1)}{1⋅2}⋅\frac1{n^2}+\]

\[+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1⋅2⋅3}⋅\frac1{n^3}+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅k}⋅\frac1{n^k}+...\]

\[...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{1⋅2⋅3⋅...⋅n}⋅\frac{1}{n^n}=1+1+\frac1{2!}\left( 1-\frac1n \right)+\]

\[+\frac1{3!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)+...+\frac1{k!}\left(1-\frac1n \right)\left( 1-\frac2n\right)...\]

\[...\left(1-\frac{k-1}n\right)+...+\frac1{n!}\left(1-\frac{1}n\right)\left(1-\frac{2}n\right)...\left(1-\frac{n-1}n\right)\]

հավասարությանը, եթե k-ն սևեռենք (պահպանենք հաստատուն) և համարենք n>k, վերջին մասի k+1-րդ անդամին հաջորդող բոլոր անդամները դեն նետենք, ապա կստանանք հետևյալ անհավասարությունը՝

\[x_n > 2+ \frac{1}{2!} \left( 1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n}\right) +...\]

\[... +\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n}\right)...\left( 1 – \frac{k-1}{n}\right)\]

Անցնենք սահմանին, n-ը ձգտեցնելով անվարջության, քանի որ բոլոր փակագծերի ներսի արտահայտությունները ձգտում են 1-ի, ուստի կունենանք՝

\[e ≥ 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{k!}=y_k\]

Այս անհավասարությունը տեղի ունի ամեն մի բնական k-ի համար։ Այսպիսով ունենք

\[x_n < y_n ≤ e\]

Որտեղից հետևում է (սահմանային անցման դասի 3-րդ թեորեմայի համաձայն) որ նաև

\[\lim_{n \to +\infty} y_n = e\]

e թվի մոտավոր հաշվման համար yn փոփոխականը շատ ավելի հարմար է, քան xn-ը։ Գնահատենք yn-ին հաջորդող արևէ yn+m արժեքի և yn-ի տարբերությունը։ Ունենք՝

\[y_{n+m}-y_n = \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{1}{(n+2)!}+ ...+\frac{1}{(n+m)!}=\]

\[= \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 +\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)...(n+m)} \right] :\]

եթե [...] փակագծերի ներսը հայտարարների բոլոր արտադրիչները փոխարինենք (n+2)-ով, կունենանք հետևյալ անհավասարությունը՝

\[y_{n+m}-y_n < \frac{1}{(n+1)!}\left[ 1+ \frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\frac{1}{(n+2)^3}+...+ \frac{1}{(n+2)^{m-1}}\right] ,\]

որը միայն կուժեղանա, եթե փակագծերը փոխարինենք անվերջ պրոգրեսիայի գումարով՝

\[y_{n+m} – y_n < \frac{1}{(n+1)!} \frac{n+2}{n+1}:\]

Այստեղ n-ը անփոփոխ պահելով, m-ը մեծացնենք մինչև անվերջություն․ m նշիչով համարակալված yn+m փոփոխականը հաջորդաբար կունենա հետևյալ արժեքները՝

yn+1, yn+2, yn+3, …, yn+m, …,

որոնք, ակներևաբար, ձգտում են e-ին։ Ուստի սահմանում ստանում ենք՝

\[e- y_n ≤ \frac{1}{(n+1)!}\frac{n+2}{n+1}\]

կամ, քանի որ (n+2)/(n+1)2 < 1/n (այդ հեշտ է ստուգել), վերջապես կունենանք՝

\[e-y_n < \frac{1}{n!n}\]

Եթե e-yn տարբերության և 1/(n!n) թվի հարաբերությունը նշանակենք θ-ով, (ակներևաբար 0<θ<1), կարելի կլինի գրել՝

\[e- y_n = \frac{θ}{n!n}:\]

Այստեղ yn-ը փոխարինելով իր լրիվ արտահայտությամբ, մենք կստանանք հենց այն կարևոր բանաձևը՝

\[e= 1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+...+\frac1{n!}+\frac{θ}{n!n}\]

Որը ելակետ կծառայի e թիվը հաշվելու համար։ Դեն նետելով վերջին «լրացուցիչ» անդամը և մնացած յուրաքանչյուր անդամ փոխարինելով իր տասնորդական մոտավորությամբ, մենք հենց դրանով էլ կստանանք e թվի մոտավոր արժեքը։

Tags: , , ,