Հոդվածների այցերի քանակը
87595

Հիմնական բանաձև e թվի համար։ Բնական լոգարիթմներ

e թիվը որպես հաջորդականության սահման դասում e թիվը սկզբնապես որոշվել էր որպես բնական արգումենտի ֆունկցիայի սահման, այն է՝

\[e = \lim_{n \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n\]

Իսկ այժմ մենք ապացուցենք ավելի ընդհանուր բանաձև՝

\[e= \lim_{x \to 0} \left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} \]

Դրա համար բավական է, ըստ միակողմյան սահմանների հատկության, ցույց տալ, որ առանձին առանձին տեղի ունեն հետևյալ երկու առնչությունները՝

\[e= \lim_{x \to +0} \left(1+x \right)^{\frac{1}{x}}, e= \lim_{x \to -0} \left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} \]

Այս անգամ օգտվենք սահմանի՝ «հաջորդականությունների լեզվով» սահմանումից։

Ի դեպ, եթե

\[e = \lim_{n \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n\]
սահմանը նույնպես, դիտարկելով այն որպես n-ից կախված ֆունկցիայի սահման, մեկնաբանենք «հաջորդականությունների լեզվով», ապա կհանգենք

\[ \lim_{k \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n_k} \right)^{n_k}=e\]

առնչությունը, ինչպիսին էլ լինի k համարի հետ միասին մինչև անվերջություն աճող բնական թվերի nk հաջորդականությունը։

Դիցուք, այժմ x-ն ընդունում է դրական արժեքներ․ որոնք կազմում են զրոյի ձգտող մի որևէ {xk} հաջորդականություն․ կարելի է ընդունել, որ xk<1:

Նշանակենք nk=E(1/ xk), այնպես որ՝

\[n_k ≤ \frac1{x_k} < n_k + 1 , n_k \to +\infty \]

Քանի որ այդ դեպքում՝

\[\frac1{n_k + 1} <x_k ≤ \frac1{n_k}\]

ուստի՝

\[\left( 1+ \frac{1}{n_k + 1} \right)^{n_k}<\left( 1 + x_k\right)^{\frac1{x_k}}<\left( 1+\frac1{n_k}\right)^{n_k +1}\]

Եզրային երկու արտահայտությունները կարելի է այսպես ձևակերպել՝

\[\left( 1 + \frac1{n_k + 1} \right)^{n_k}=\left( 1 + \frac1{n_k + 1} \right)^{n_k +1} : \left(1+\frac1{n_k +1}\right)\]

\[\left( 1 + \frac1{n_k} \right)^{n_k+1}=\left( 1 + \frac1{n_k} \right)^{n_k} : \left(1+\frac1{n_k}\right)\]

և, քանի որ

\[ \lim_{k \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n_k} \right)^{n_k}=e\]

ի շնորհիվ՝

\[\left( 1+ \frac{1}{n_k} \right)^{n_k} \to e, \left( 1+ \frac{1}{n_k + 1} \right)^{n_k +1}\to e\]

իսկ՝

\[\left(1+\frac1{n_k}\right) \to 1, \left(1+\frac1{n_k+1}\right) \to 1 \]

ուստի այդ երկու եզրային արտահայտություններն էլ ձգտում են e ընդհանուր սահմանին։ Հետևաբար սահմանների անցման հատկություններից 3) թեորեմայի համաձայն, նրանց մեջև գտնվող արտահայտությունը նույնպես կձգտի այդ e սահմանին՝

\[\lim_{k \to \infty}\left( 1 + x_k\right)^{\frac1{x_k}}=e\]

Սրանով էլ ավարտվում է x->+0 դեպքի՝ առնչություններից առաջինի ապացուցումը «հաջորդականությունների լեզվով»։

Այդ առնչություններից երկրորդն ապացուցելու համար այժմ ենթադրենք, թե {xn} հաջորդականությունը կազմված է զրոյի ձգտող բացասական արժեքներից․ կարելի է համարել xk>-1: Եթե նշանակենք xk=-yk, ապա կունենանք, 1>yk>0 և yk ->0:
Կարող ենք գրել,

\[\left(1+x_k\right)^{\frac1{x_k}}=\left(1-y_k\right)^{-\frac1{y_k}}=\left( \frac1{1-y_k} \right)^\frac1{y_k}=\left(1+\frac{y_k}{1-y_k}\right)^{\frac{1-y_k}{y_k}}\left(1+\frac{y_k}{1- y_k}\right):\]

Քանի որ առաջին բազմապատկիչը, ապացուցածի համաձայն, ձգտում է e սահմանին, իսկ երկրորդ բազմապատկիչը՝մեկին, ուստի ձախ կողմի արտահայտությունը նույնպես ձգտում է e սահմանին։

\[e= \lim_{x \to 0} \left(1+x \right)^{\frac{1}{x}} \]

բանաձևը լրիվ ապացուցվեց։

e թվի այս նշանավոր հատկությունն է ընկած նրա բոլոր կիրառությունների հիմքում։ Հենց այս հատկությունն է առանձնապես ձեռնտու դարձնում e թիվը որպես լոգարիթմների սիստեմի հիմք ընտրելը։ e հիմքով լոգարիթմները կոչվում են բնական լոգարիթմներ և նշանակվում են ln տառերով (logarithmus naturalis). Տեսական հետազոտություններում օգտագործում են բացառապես բնական լոգարիթմները։ Հիշենք, որ սովորական տասնորդական լոգարիթմները բնական լոգարիթմների հետ կապված են

lg x =M lnx

հայտնի բանաձևով, որտեղ M-ը անցման մոդուլն է և հավասար է՝

M=lg e = 1/(ln10)= 0,434294...

Այս բանաձևը հեշտությամբ կստացվի, եթե

x=elnx

նույնությունը լոգարիթմենք 10 հիմքով։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes