Մասնակի հաջորդականություններ

    Դիցուք տրված է մի հաջորդականություն՝

    x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ...

     Դիտարկենք դրա հետ միասին, դրանից առանձնացրած մի որևէ մասնակի հաջորդականություն՝

    \[x_{n_1}, x_{n_2},x_{n_3}, ...,x_{n_k}, ...,\]

    որտեղ {nk}-ն` աճող բնական թվերի մի որոշ հաջորդականություն է՝

    n1<n2<n3<...<nk<nk+1<...

     Այստեղ հերթականությամբ բոլոր բնական արժեքներն ընդունող համարի դերը կատարում է արդեն ոչ թե n-ը, այլ k-ն, իսկ nk-ն իրենից ներկայացնում է k-ից կախված ֆունկցիա, որը բնական արժեքներ է ընդունում և, ակներևորեն, ձգտում է անվերջության, երբ k-ն աճում է։

     Եթե x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ... հաջորդականությունն ունի որոշակի a սահման (վերջավոր կամ անվերջ), ապա նույն սահմանն ունի նաև 

    \[x_{n_1}, x_{n_2},x_{n_3}, ...,x_{n_k}, ...,\]

    մասնակի հաջորդականությունը։

    Իսկ եթե x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ...հաջորդականությունը որոշակի սահման չունի, այդ չի բացառում սահմանի գոյության հնարավորությունը մի որևէ մասնակի հաջորդականության համար։

    դիցուք օրինակ՝

    \[x_n={(-1)}^{n+1}\]

     Այս փոփոխականը սահման չունի։ Իսկ եթե n-ը ընդունի միայն կենտ կամ միայն զույգ արժեքներ, ապա՝

     x1=1, x3=1, ..., x2k-1=1, ...

    x2=-1, x4=-1, ..., x2k=-1, ...

    մասնակի հաջորդականությունները կունենան, համապատասխանորեն, 1 և -1 սահմանները։

     Երբ x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ... հաջորդականությունն անսահմանափակ է, երբեմն հնարավոր չի լինում այնպիսի մասնակի հաջորդականություն առանձնացնել, որը ձգտի վերջավոր սահմանի։ Այդպես կլինի, եթե x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ... հաջորդականությունն ինքը ձգտում է դրական կամ բացասական անվերջության։ Սահմանափակ հաջորդականության համար, ընդհակառակն, տեղի ունի հետևյալ պնդումը, որը պատկանում է Բոլցանոյին և Վայերշտրասսին․

    Բոլցանոյի-Վայերշտրասսի լեմման։ Յուրաքանչյուր x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ... սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել այնպիսի

    \[x_{n_1}, x_{n_2},x_{n_3}, ...,x_{n_k}, ...,\]
    մասնակի հաջորդականություն, որը ձգտի վերջավոր սահմանի։

    (Այս ձևակերպումը չի բացառում նաև հավասար թվերի հնարավորությունը տվյալ հաջորդականության կազմում, որը հարմար է կիրառություններում)։

    Ապացուցում։ Դիցուք տրված է x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ... հաջորդականությունը, որտեղ բոլոր xn թվերը գտնվում են a և b թվերի միջև։ Այդ [a, b] միջակայքը կիսենք, երկու կետերից գոնե մեկում անվերջ բազմությամբ էլեմենտներ կլինեն տվյալ հաջորդականությունից, քանի որ, հակառակ դեպքում, ամբողջ [a, b] միջակայքում նույնպես վերջավոր թվով էլեմենտներ կլինեին, որը հնարավոր չէ (անվերջ հաջորդականության համար)։ Այսպես, ուեմն, թող [a1, b1] -ը լինի այն կեսը, որը պարունակում է անվերջ բազմությամբ xn էլեմենտներ (իսկ եթե երկու կեսն էլ այդպիսին են՝ նրանցից որևէ մեկն է)։

     Նման ձևով, [a1, b1] միջակայքից վերցնենք նրա այն [a2, b2] կեսը, որը պարունակում է անվերջ բազմությամբ xn թվեր, և այլն։ Այդ պրոցեսը շարունակելով, նրա k-րդ քայլում կառանձնացնենք [ak, bk], որն անվերջ բազմությամբ xn թվեր է պարունակում․ և այդպես շարունակ անվերջորեն։

    Այսպես կառուցված միջակայքերից յուրաքանչյուրը (սկսած երկրորդից), ներդրված է իր նախորդի մեջ, կազմելով նրա կեսը։ Բացի դրանից, k-րդ միջակայքի երկարությունը, որը հավասար է 

     

    \[b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}\]

    ձգտում է զրոյի, երբ k-ն անվերջորեն աճում է։ Կիրառելով ներդրված միջակայքերի լեմման,  այստեղից եզրակացնում ենք, որ ak և bk ծայրակետերը ձգտում են մի c ընդհանուր սահմանի։ Այժմ {xnk} մասնակի հաջորդականությունը կազմենք ինդուկտիվ եղանակով, հետևյալ ձևով․ իբրև xn1 վերցնենք տրված հաջորդականության այն xn էլեմենտներից որևիցե մեկը (օրինակ՝ հերթականությամբ առաջինը), որոնք գտնվում են [a1, b1] միջակայքում։ Իբրև xn2 վերցնենք xn1 -ին հաջորդող այն xn էլեմենտներից մեկը (օրինակ՝ առաջինը), որոնք գտնվում են [a2, b2] միջակայքում և այլն։  Ընդհանրապես, իբրև xnk վերցնենք նախապես արդեն ընտրված 

    \[x_{n_1}, x_{n_2},x_{n_3}, ...,x_{n_{k-1}}\]
    էլեմենտներին հաջորդող այն xn էլեմենտներից որևէ մեկը (օրինակ՝ առաջինը), որոնք գտնվում են [ak, bk] միջակայքում։ Այդպիսի հաջորդական ընտրության հնարավորությունն ապահովվում է նրանով, որ [ak, bk] միջակայքերից յուրաքանչյուրը պարունակում է անվերջ բազմությամբ xn թվեր, այսինքն՝ պարունակում է ցանկացած չափով մեծ համար ունեցող xn էլեմենտներ։

    Այնուհետև, քանի որ 

    \[a_k≤x_{n_k}≤b_k, \lim_{k \to \infty}a_k = \lim_{k \to \infty}b_k=c\]

    ուստի, ըստ սահմանային անցման հատկությունների 3-րդ թեորեմայի համաձայն նաև՝

    \[\lim_{k \to \infty}x_{n_k}=c\]

    որը և պահանջվում եր ապացուցել։

    Դիտարկվող միջակայքերը հաջորդապար կիսելու մեթոդը, որ մենք հենց նոր կիրառեցինք, մեզ հաճախ է պետք գալու նաև այլ դեպքերում։

    Բոլցանոյի-Վայերշտրասսի լեմման զգալի չափով հեշտացնում է մեծ թվով դժվար թեորեմների ապացուցումը, ասես իր մեջ առնելով դատողությունների հիմնական դժվարությունը։ Մենք այդ լեմմայից կօգտվենք հենց առաջիկա համարում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru