Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Վերջավոր սահմանի գոյության պայմանը ցանկացած արգումենըի ֆունկցիայի համար

Այժմ անցնենք ընդհանուր դեպքին՝ f(x) ֆունկցիայի դիտարկմանը, որը տրված է a խտացման կետ ունեցող մի X={x} տիրույթում։ x-ը a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի գոյության համար կարելի է ստանալ նույնպիսի հայտանիշ, ինչպիսին ստացել ենք բնական արգումենտի ֆունկցիայի դեպքում։ Այդ հայտանիշի ձևակերպումը մենք տալիս ենք զուգահեռաբար այն դեպքերի համար, երբ a-ն վերջավոր է և երբ a=+∞:

Թեորեմա։ x-ը a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիայի վերջավոր սահման ունենալու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի յուրաքանչյուր ε>0 գոյություն ունենա այնպիսի δ>0 (կամ d>0՝ a=+∞ դեպքում), որ

\[|f(x)-f(x')|<ε\]

անհավասարությունը բավարարվի, հենց որ՝

\[|x-a|<δ, |x'-a|<δ\]

\[a=+∞\]
դեպքում
\[ x>d, x'>d\]

Ապացուցումը կատարենք ենթադրելով, որ a-ն վերջավոր է։

Անհրաժեշտությունը։ Դիցուք գոյություն ունի ֆունկցիայի վերջավոր սահման՝

\[\lim_{x \to a}f(x)=A\]

Այդ ժամանակ տրված ε>0 թվին համապատասխան այնպիսի δ>0, որ տեղի կունենա՝

\[|f(x)-A|<\frac{ε}2,\]

հենց որ |x-a|<δ: Իսկ եթե նաև |x՛-a|<δ, ապա տեղի կունենա նաև

\[|A-f(x')|<\frac{ε}2:\]

Այդ երկու անհավասարություններից կունենանք՝

\[|f(x)-f(x')|=|f(x)-A+A-f(x')|≤|f(x)-A|+|A-f(x')|<ε\]

այն ենթադրությամբ, որ միաժամանակ

\[|x-a|<δ և |x՛-a|<δ\]

Բավարարությունը կարելի է ապացուցել, օրինակի համար, հարցը հանգեցնելով արդեն դիտարկված դեպքին։ Դրա համար ուղի է բացում հենց ֆունկցիայի սահմանի գաղափարի սահմանումը «հաջորդականության լեզվով»։

Այսպես, ուրեմն, դիցուք թեորեմայում ձևակերպված պայմանը բավարվում է, և կամայապես վերցրած ε>0 թվին համապատասխանող δ>0 թիվը գտնված է։ Եթե {xn}-ը a սահմանին ձգտող արժեքների ցանկացած հաջորդականություն է X տիրույթից վերցրած, ապա, հաջորդականության սահմանի սահմանման համաձայն, կգտնվի այնպիսի N համար, որ N<n-ի դեպքում կլինի |xn -a|<δ: Այդ n համարի համար վերցնենք մի ուրիշ n' համար ևս՝ n'>N, այնպես որ, միաժամանակ կունենանք՝

\[|x_n -a|<δ և |x_{n'}-a|<δ:\]

Այդ դեպքում, հենց δ թվի ընտրության համաձայն կունենանք նաև՝

\[|f({x_n})-f(x'_n)|<\epsilon\]

Այս անհավասարության բավարարելու համար միայն պահանջվում է, որպեսզի n և n' երկու համարներն էլ մեծ լինեն N-ից։ Այդ նշանակում է, որ n բնական արգումենտի f(xn) ֆունկցիայի համար բավարարվում է հաջորդականության սահմանի գոյության պայմանը և, հետևաբար՝

f(x1), f(x2), …, f(xn), …

հաջորդականությունը վերջավոր սահման ունի․ այն նշանակենք A: Մնում է ցույց տալ նաև, որ այդ A սահմանը կախված չէ {xn} հաջորդականության ընտրությունից։
Դիցուք {x'n}-ը X-ից առանձնացրած մի այլ հաջորդականություն է, որը նույնպես ձգտում է a սահմանին։ Ֆունկցիայի՝ դրան համապատասխանող արժեքների {f(x'n)} հաջորդականությունը նույնպես, ապացուցվածի համաձայն, ունի մի որոշ A' վերջավոր սահման։ Ապացուցելու համար, որ A'=A, հակասող ենթադրություն անենք և կազմենք x-ի արժեքների հետևյալ հաջորդականությունը՝

x1, x'1, x2, x'2, …, xn, x'n, ...

որը պարզ է, որ ձգտում է a սահմանին։ Ֆունկցիայի՝ դրան համապատասխանող արժեքներից կազմված՝

f(x1), f(x'1), f(x2), f(x'2), …, f(xn), f(x'n), …

հաջորդականությունը սահման չի ունենա, քանի որ նրա երկու մասնակի հաջորդականությունները, որոնք կազմվում են միայն կենտ կամ միայն զույգ տեղերում գտնվող անդամներից, ձգտում են տարբեր սահմանների՝ ըստ մասնակի հաջորդականությունների հատկության։ Իսկ դա հակասում է մեր ապացուցածին, ըստ որի ամեն մի այդպիսի հաջորդականություն պետք է որոշակի սահման ունենա։ Ուրեմն, x-ը a-ին ձգտելիս f(x) ֆունկցիան իրոք որ ձգտում է A վերջավոր սահմանին։

Free Joomla! templates by AgeThemes