Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Անվերջ փոքրերի բաղդատումը

Ենթադրենք, թե մի որևէ հարցի հետազոտության ընթացքում միաժամանակ դիտարկվում են մի շարք անվերջ փոքր մեծություններ՝

α, β, γ, ․․․

որոնք, ընդհանրապես կլինեն ֆունկցիաներ միևնույն փոփոխականի, ասենք x-ի, որը ձգտում է a վերջավոր կամ անվերջ սահմանին։

Շատ դեպքերում հետաքրքրություն է ներկայացնում վերոհիշյալ անվերջ փոքրերի բաղդատումն իրար հետ՝ ըստ նրանց զրոյի ձգտելու բնույթի։ α և β երկու անվերջ փոքրերի բաղդատման հիմքում դրվում է նրանց հարաբերության վարքը: (Մենք ընդունում ենք, որ այն փոփոխականը, որի վրա մենք բաժանում ենք, զրո չի դառնում, գոնե a-ին բավականաչափ մոտ գտնվող x-ի արժեքների համար։) Այս առիթով ընդունենք երկու պայման, այն է՝

1․ Եթե β/α (նրա հետ նաև α/β) հարաբերությունը ունի վերջավոր և զրոյից տարբեր սահման, ապա α և β անվերջ փոքրերը համարվում են միևնույն կարգի մեծություններ։

2․ Իսկ եթե β/α հարաբերությունը ձգտում է զրոյի (իսկ α/β հարաբերությունը՝ ∞) ապա β անվերջ փոքրը համարվում է ավելի բարձր կարգի մեծություն, քան α անվերջ փոքրը և միաժամանակ α անվերջ փոքրը կլինի ավելի ցածր կարգի, քան β անվերջ փոքրը։

Օրինակ, երբ α=x->0, ապա այս անվերջ փոքրի նկատմամբ նույն կարգի անվերջ փոքր կլինեն նաև՝

\[sin x, tg x, \sqrt{1+x}-1\]

մեծությունները, որովհետև ինչպես գիտենք

\[ \lim_{x \to 0} \frac{sin x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{tg x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}x =\frac12\]

Ընդհակառակը,

\[1 - cos x, tg x – sin x\]

անվերջ փոքրերը, ակներևաբար, կլինեն ավելի բարձր կարգի, քան x-ը։

Իհարկե, կարող է պատահել, որ երկու անվերջ փոքրերի հարաբերությունը ոչ մի սահմանի չձգտի, չլինելով նաև անվերջ մեծ․ օրինակ, եթե վերցնենք

\[ α=x, β= x sin\frac1x,\]

ապա նրանց հարաբերությունը, որը հավասար է sin 1/x-ի, սահման չունի, երբ x->0: Այդ դեպքում ասում են, որ երկու անվերջ փոքրերը իրար հետ անբաղդատելի են։ Նշենք, որ երբ β անվերջ փոքրն ավելի բարձր կարգի է, քան α անվերջ փոքրը, այդ փաստը գրում են այսպես՝

β= o(α):

Օրինակ, կարելի է գրել՝

\[1-cosx = o(x), tg x – sin x = o(x)\]

և այլն։ Այսպիսով, α-ից ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրերի ընդհանուր նշանակման համար օգտագործվում է o(α) պայմանանշանը (սիմվոլը)։ Հետագայում մենք կօգտվենք այս հարմար նշանակումից։

Free Joomla! templates by AgeThemes