Անվերջ փոքրերի բաղդատումը

    Ենթադրենք, թե մի որևէ հարցի հետազոտության ընթացքում միաժամանակ դիտարկվում են մի շարք անվերջ փոքր մեծություններ՝

    α, β, γ, ․․․

    որոնք, ընդհանրապես կլինեն ֆունկցիաներ միևնույն փոփոխականի, ասենք x-ի, որը ձգտում է a վերջավոր կամ անվերջ սահմանին։

    Շատ դեպքերում հետաքրքրություն է ներկայացնում վերոհիշյալ անվերջ փոքրերի բաղդատումն իրար հետ՝ ըստ նրանց զրոյի ձգտելու բնույթի։ α և β երկու անվերջ փոքրերի բաղդատման հիմքում դրվում է նրանց հարաբերության վարքը: (Մենք ընդունում ենք, որ այն փոփոխականը, որի վրա մենք բաժանում ենք, զրո չի դառնում, գոնե a-ին բավականաչափ մոտ գտնվող x-ի արժեքների համար։) Այս առիթով ընդունենք երկու պայման, այն է՝

    1․ Եթե β/α (նրա հետ նաև α/β) հարաբերությունը ունի վերջավոր և զրոյից տարբեր սահման, ապա α և β անվերջ փոքրերը համարվում են միևնույն կարգի մեծություններ։

    2․ Իսկ եթե β/α հարաբերությունը ձգտում է զրոյի (իսկ α/β հարաբերությունը՝ ∞) ապա β անվերջ փոքրը համարվում է ավելի բարձր կարգի մեծություն, քան α անվերջ փոքրը և միաժամանակ α անվերջ փոքրը կլինի ավելի ցածր կարգի, քան β անվերջ փոքրը։

    Օրինակ, երբ α=x->0, ապա այս անվերջ փոքրի նկատմամբ նույն կարգի անվերջ փոքր կլինեն նաև՝

    \[sin x, tg x, \sqrt{1+x}-1\]

    մեծությունները, որովհետև ինչպես գիտենք

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{sin x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{tg x}x =1, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}x =\frac12\]

    Ընդհակառակը,

    \[1 - cos x, tg x – sin x\]

    անվերջ փոքրերը, ակներևաբար, կլինեն ավելի բարձր կարգի, քան x-ը։

    Իհարկե, կարող է պատահել, որ երկու անվերջ փոքրերի հարաբերությունը ոչ մի սահմանի չձգտի, չլինելով նաև անվերջ մեծ․ օրինակ, եթե վերցնենք

    \[ α=x, β= x sin\frac1x,\]

    ապա նրանց հարաբերությունը, որը հավասար է sin 1/x-ի, սահման չունի, երբ x->0: Այդ դեպքում ասում են, որ երկու անվերջ փոքրերը իրար հետ անբաղդատելի են։ Նշենք, որ երբ β անվերջ փոքրն ավելի բարձր կարգի է, քան α անվերջ փոքրը, այդ փաստը գրում են այսպես՝

    β= o(α):

    Օրինակ, կարելի է գրել՝

    \[1-cosx = o(x), tg x – sin x = o(x)\]

    և այլն։ Այսպիսով, α-ից ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրերի ընդհանուր նշանակման համար օգտագործվում է o(α) պայմանանշանը (սիմվոլը)։ Հետագայում մենք կօգտվենք այս հարմար նշանակումից։

    2019 www.alphazero.ru