Համարժեք անվերջ փոքրեր

    Նշված օրինակներում α, β և γ տառերով նշանակված են x փոփոխականից ֆունկցիաներ։

    Այժմ կանգ առնենք միևնույն կարգի անվերջ փոքրերի առանձնապես կարևոր մի դեպքի վրա։

    α և β անվերջ փոքրերը կանվանենք համարժեք (նշանակելով α∼β), եթե նրանց β-α=γ տարբերությունը լինի ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր մեծություն, քան α և β անվերջ փոքրերից յուրաքանչյուրն է, այսինքն՝

    \[γ=o(α), γ=o(β)\]

    Ի միջի այլոց բավական է պահանջել, որ γ-ն այդ անվերջ փոքրերից միայն մեկի նկատմամբ լինի բարձր կարգի, որովհետև, եթե, օրինակ, γ-ն ավելի բարձր կարգի է, քան α-ն, ապա նա բարձր կարգի կլինի նաև β-ի նկատմամբ։ Իրոք,

    \[\lim_{x \to a} \frac{γ}{α}=0\]

    անհավասարությունից հետևում է, որ նաև

    \[\lim_{x \to a} \frac{γ}{β}=\lim_{x \to a} \frac{γ}{α+γ}=\lim_{x \to a} \frac{γ}{1+\frac{γ}{α}}=0\]

    Դիտարկենք α և β երկու համարժեք անվերջ փոքրեր, որտեղ β=α+γ և γ=o(α): Եթե մոտավորապես ընդունենք β≈α (≈ նշանը նշանակում է մոտավոր հավասարություն), ապա այդ երկու մեծությունների փոքրացման հետ միասին զրոյի կձգտի ոչ միայն այդ փոխարինման հետևանքով առաջացած բացարձակ սխալը, որը ներկայացվում է |γ| մեծությունով, այլև հարաբերական սխալանքը, որը հավասար է

    \[\left| \frac{γ}{α} \right|\]

    Այլ խոսքով, α-ի և β-ի բավականաչափ փոքր արժեքների դեպքում կարելի է ցանկացած չափով մեծ հարաբերական ճշգրտությամբ ընդունել β=α: Սրա վրա է հիմնված, մասնավոր հաշվումների ժամանակ, բարդ անվերջ փոքրերը նրանց նկատմամբ համարժեք պարզ անվերջ փոքրերով փոխարինելը։
    Ստանանք երկու անվերջ փոքրերի համարժեքության մի օգտակար հայտանիշ, որն ըստ էության տալիս է այդ գաղափարի երկրորդ սահմանումը՝ նախորդին հավասարազոր․

    α և β երկու անվերջ փոքրերի համարժեքության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի

    \[\lim_{x \to a}\frac{β}{α}=1\]

    Նշանակելով β-α=γ, կունենանք՝

    \[\fracβα-1=\fracγα\]

    Հենց այստեղից էլ անմիջապես բխում է մեր պնդումը։ Իրոք, եթե β/α->1, ապա γ/α->0, այսինքն՝ γ-ն ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր է, քան α-ն, և β∼α։

    Հակադարձաբար, եթե տրված է, որ β∼α, ապա γ/α->0 և այդ ժամանակ β/α->1։

    Այս հայտանիշի շնորհիվ, օրինակ, երևում է, որ x->0 դեպքում sin x անվերջ փոքրը համարժեք է x-ին, իսկ

    \[\sqrt{1+x}-1\]
    անվերջ փոքրը համարժեք է x/2-ին։ Այստեղից էլ ստանում ենք հետևյալ մոտավոր բանաձևերը՝

    \[sin x≈x, \sqrt{1+x}-1≈\frac{x}2\]

    Համարժեք անվերջ փոքրերի այս հատկությունն օգտագործվում է 0/0 տեսքի անորոշություններ բացելիս, այսինքն՝ երկու անվերջ փոքրերի β/α հարաբերության սահմանը որոնելիս։ Այդ ժամանակ կարելի է, առանց ազդելու սահմանի վրա, դրանցից յուրաքանչյուրը փոխարինել իրեն համարժեք որևէ անվերջ փոքրով։

    Իրոք, եթե α'∼α β'∼β, այսինքն՝

    \[\lim_{x \to a}\frac{α'}{α}=1,\lim_{x \to a}\frac{β'}{β}=1\]

    ապա հետևյալ նույնությունից`

    \[\frac{β}{α}=\frac{β}{β'}\frac{β'}{α'}\frac{α'}{α}\]

    երևում է, որ β/α հարաբերությունը β'/α' հարաբերությունից տարբերվում է այնպիսի բազմապատկիչով, որոնք ձգտում են 1-ի․ հետևաբար՝ այդ հարաբերությունը միաժամանակ սահման ունեն, այն էլ՝ միևնույն սահմանը։

    Եթե հաջողվում է գտնել բավականաչափ պարզα' և β' մեծություններ, ապա այդ կարող է խնդիրը միանգամից զգալի չափով պարզեցնել։ Օրինակ՝

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{sin 2x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac12 \left(x+x^2\right)}{2x}=\frac{1}{4}:\]

    Ապացուցածից նաև հետևում է, որ եթե երկու անվերջ փոքրեր համարժեք են երրորդին, ապա նրանք իրար ևս համարժեք են։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru