Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63327

Ֆունկցիայի՝ կետում անընդհատության սահմանումը

Ֆունկցիայի սահմանի գաղափարի հետ սերտորեն կապված է մաթեմատիկական անալիզի մի այլ կարևոր գաղափար՝ ֆունկցիայի անընդհատության գաղափարը։ Այդ գաղափարի ճշգրիտ սահմանումը պատկանում է Բոլցանոյին և Կոշիին, որոնց անուններն արդեն հիշատակվել են։

Դիտարկենք f(x) ֆունկցիան, որը որոշված է մի X={x} տիրույթում, որի համար x0-ն խտացման կետ է, ընդ որում թող այդ x0 կետն ինքը պատկանի ֆունկցիայի որոշման տիրույթին, այնպես որ այդ կետում ֆունկցիան ունի որոշակի f(x0) արժեք։

Երբ սահմանում էինք ֆունկցիայի սահմանի գաղափարը x-ը x0-ին ձգտելիս (տես այս սահմանումը և այս սահմանումը)

\[\lim_{x \to x_0}f(x)\]

միշտ ընդգծում էինք, որ x փոփոխականը x0 արժեքը չի ընդունում․ այդ արժեքը նույնիսկ կարող էր ֆունկցիայի որոշման տիրույթին չպատկանել, իսկ եթե պատկաներ էլ, ապա վերոհիշյալ սահմանը գրելիս f(x0) արժեքը նկատի չէինք ունենում։

Սակայն հատուկ կարևորություն ունի հենց այն դեպքը, երբ

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0):\]

Ասում են, որ f(x) ֆունկցիան անընդհատ է x=x0 արժեքի դեպքում, (կամ՝ x=x0 կետում), եթե տեղի ունի այդ առնչությունը․ իսկ եթե խախտվում է այն, ապա ասում են, որ այդ արժեքի դեպքում (կամ՝ այդ կետում) ֆունկցիան խզում ունի։

Այն դեպքում, երբ f(x) ֆունկցիան x0 կետում անընդհատ է, f(x) ֆունկցիայի սահմանը հաշվելիս, երբ x->x0, նշանակություն չունի, թե x-ը x0-ին ձգտելիս, մասնավորապես, x0 արժեքն ընդունում է, թե ոչ։

Ֆունկցիայի անընդհատության սահմանումը կարելի է ձևակերպել նաև այլ տերմիններով։ x0 արժեքից x արժեքին անցնելը կարելի է պատկերացնել այնպես, որ x0 արժեքին տրված է Δx=x-x0 աճ։

Ֆունկցիայի y=f(x)=f(x0+Δx) նոր արժեքը y0=f(x0) սկզբական արժեքից կտարբերվի

Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)

աճով։ Որպեսզի f(x) ֆունկցիան x0 կետում անընդհատ լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի այդ կետում նրա Δy աճը անկախ փոփոխականի Δx աճի հետ միասին ձգտի զրոյի։ Այլ խոսքով՝ անընդհատ ֆունկցիան բնութագրվում է նրանով, որ արգումենտի անվերջ փոքր աճին համապատասխանում է ֆունկցիայի նույնպես անվերջ փոքր աճ։

Անդրադառնալով

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0):\]

հիմնական սահմանումին, նրա բովանդակությունը բացահայտենք «հաջորդականությունների լեզվով»։ x0 կետում f(x) ֆունկցիայի անընդհատության իմաստը հանգում է հետևյալին․

X տիրույթից x-ի արժեքների՝ x0-ին ձգտող ինչպիսի x1, x2, …, xn, … հաջորդականություն էլ որ վերցնենք, ֆունկցիայի արժեքների
f(x1), f(x2), …, f(xn), … համապատասխան հաջորդականությունը ձգտում է f(x0)-ին։

Վերջապես, «ε-δ լեզվով» անընդհատությունը կարտահայտվի այսպես․

ինչպիսին էլ լինի ε>0 թիվը, նրա համար կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ
|x-x0|<δ անհավասարությունից կբխի
|f(x)-f(x0)|<ε անհավասարությունը։

Վերջին անհավասարությունը, այսպիսով, պետք է տեղի ունենա x0 կետի (x0-δ, x0+δ) բավականաչափ փոքր շրջակայքում։

Նշենք, որ

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0):\]

սահմանը հաշվելիս մենք կարող էինք x-ը x0-ին մոտեցնել թե աջից, թե ձախից, միայն թե x-ը դուրս չգար X միջակայքի սահմաններից։

Այժմ սահմանենք տվյալ կետում ֆունկցիայի միակողմյան անընդհատությոան և միակողմյան խզման գաղափարները։

Ասում են, որ f(x) ֆունկցիան աջից (ձախից) անընդհատ է x0 կետում, եթե տեղի ունի հետևյալ սահմանային առնչությունը՝

\[f(x_0 +0)= \lim_{x \to x_0 +0}f(x)=f(x_0):\]

\[\left[f(x_0 -0)= \lim_{x \to x_0 -0}f(x)=f(x_0)\right]:\]

Իսկ եթե այդ առնչություններից մեկը կամ մյուսը չի իրականանում, ապա f(x) ֆունկցիան x0 կետում խզում ունի՝ համապատասխանաբար աջից կամ ձախից։

X միջակայքի ձախ (աջ) ծայրակետի վերաբերյալ, եթե այնտեղ ֆունկցիան որոշված է, խոսք կարող է լինել, ակներևորեն, միայն աջից (ձախից) անընդհատ լինելու կամ խզվելու մասին։ Իսկ եթե x0-ն X միջակայքի ներքին կետ է, այսինքն՝ նրա ոչ մի ծայրակետի հետ չի համընկնում, ապա x0 կետում

ֆունկցիայի սովորական իմաստով անընդհատությունը արտահայտող

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0):\]

հավասարության իրականանալու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի

\[f(x_0 +0)= \lim_{x \to x_0 +0}f(x)=f(x_0):\]

\[\left[ f(x_0 -0)= \lim_{x \to x_0 -0}f(x)=f(x_0)\right] :\]

հավասարումները երկուսը միաժամանակ տեղի ունենան։ Այլ խոսքով, x0 կետում ֆունկցիայի անընդհատությունը համարժեք է այդ կետում միաժամանակ աջից և ձախից անընդհատ լինելուն։

Պայմանավորվենք, խոսքի կարճության համար, ասել, որ ֆունկցիան անընդհատ է X միջակայքում, եթե նա անընդհատ է այդ միջակայքի յուրաքանչյուր կետում։

Free Joomla! templates by AgeThemes