Հոդվածների այցերի քանակը
87410

Իրական թվերի բազմության կարգավորումը

a և b երկու իռացիոնալ թվերը, որոնք համապատասխանաբար որոշվում են A|A' և B|B' հատույթներով, համարվում են իրար հավասար, միմյանց հավասար, եթե այդ հատույթները նույնական են․ ի միջի այլոց, բավական է պահանջել, որ համընկնեն A և B ստորին դասերը, որովհետև այդ ժամանակ A' և B' վերին դասերն իրենք կհամընկնեն։ Այդ սահմանումը կարելի է պահպանել նաև այն դեպքում, երբ a և b թվերը ռացիոնալ են։ Այլ խոսքով, եթե a և b ռացիոնալ թվերն իրար հավասար են, ապա այդ թվերը որոշող հատույթները համընկնում են, և, հակադարձաբար, հատույթների համընկնումից բխում է a և b թվերի հավասարությունը։ Այդ ժամանակ, հասկանալի է, պետք է հաշվի առնել այն պայմանը, որն ընդունել էինք վերևում, ռացիոնալ թվերը հատույթների միջոցով որոշելիս։ Այժմ անցնենք "մեծի" գաղափարի որոշմանն իրական թվերի նկատմամբ։ Ռացիոնալ թվերի համար այդ գաղափարն արդեն հայտնի է դպրոցական դասընթացից։ r ռացիոնալ թվի և a իռացիոնալ թվի համար "մեծի" գաղափարը փաստորեն որոշված է հատույթների սահմանման երկրորդ կետում, այն է՝ եթե a-ն որոշվում է A|A' հատույթով, ապա մենք a-ն մեծ ենք համարում A դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերից, իսկ A' դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերը՝ մեծ են a-ից։

Դիցուք, այժմ ունենք երկու իռացիոնալ թվեր՝ a, որը որոշվում է A|A' հատույթով, և b, որը որոշվում է B|B' հատույթով։ Մենք համարելու ենք մեծ այն թիվը, որի ստորին դասն ավելի մեծ է։ Ավելի ճիշտ ասած, մենք համարելու ենք a>b, եթե A դասն իր մեջ ընդգրկում է B դասն ամբողջությամբ, չհամընկնելով նրա հետ։ Այդ պայմանը, ակներևորեն համարժեք է նրան, որ B' դասն իր մեջ ընդգրկում է A' դասն ամբողջությամբ, չհամընկնելով նրա հետ։ Հեշտ է ստուգել, որ այդ սահմանումը կարող է պահպանվել նաև այն դեպքերի համար, երբ  a և b թվերից մեկը, կամ նույնիսկ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ "Փոքրի" գաղափարը մուծվում է արդեն որպես ածանցյալ գաղափար։ Այն է՝ ասում են, որ a<b այն և միայն այն դեպքում, երբ b>a։

Մեր սահմանումից կարելի է բխեցնել, որ ՝

a և b իրական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար տեղի ունի հետևյալ երեք առնչություններից մեկը և միայն մեկը՝

a=b, a>b, a<b:

Այնուհետև a>b և b>c պայմաններից հետևում է  a>c պայմանը։

Ապացուցենք վերջապես, առաջադրություններ, որոնք շատ անգամներ են մեզ օգտակար լինելու հետագա շարադրման ժամանակ։

1 -ին լեմմա։ Ինչպիսին էլ լինեն a և b երկու իրական թվերը, որտեղ a>b, միշտ կգտնվի այնպիսի իրական, և նույնիսկ, մասնավորապես՝ ռացիոնալ r թիվ, որը գտնվում է նրանց միջև՝ a>r>b։ Հետևաբար, կգտնվեն նաև անվերջ բազմությամբ այդպիսի ռացիոնալ թվեր։

Քանի որ a>b, ապա a թիվը որոշող հատույթի A ստորին դասն իր մեջ ընդգրկում է b թիվը որոշող հատույթի B ստորին դասը, չհամընկնելով նրա հետ։ Ուստի A դասում կգտնվի այնպիսի r ռացիոնալ թիվ, որը չի պատկանում B դասին և, հետևաբար, պատկանում է B' դասին։ Նրա համարկւնենանք՝

a>r>b կամ  a>r=b

Հավասարությունը կարող է տեղի ունենալ միայն այն դեպքում, երբ b-ն ռացիոնալ թիվ լինի։ Բայց քանի որ A դասում ամենամեծ թիվ չկա, ապա, հարկ եղած դեպքում մեծացնելով r-ը, կարելի է հավասարությունը բացառել։

2-րդ լեմմա։ Դիցուք տրված են a և b երկու իրական թվերը։ Եթե ինչպիսի e>0 ռացիոնալ թիվ էլ վերցնելու լինենք, a և b թվերը հնարավոր է գցել միևնույն s և s' երկու այնպիսի ռացիոնալ թվերի միջև, որոնց տարբերությունը e-ից փոքր է՝

s'≥a≥s s'≥b≥s, s'-s<e,

Ապա a և b թվերն անհրաժեշտաբար հավասար են։

Ապացուցենք հակասող ընդունելիությամբ։ Դիցուք, օրինակի համար, a>b։ Առաջին լեմմայի համաձայն a-ի և b-ի միջև կարելի կլինի վերցնել երկու ռացիոնալ թվեր՝ r և r'`

a>r'>r>b:

Այդ դեպքում ամեն երկու այնպիսի s և s' ռացիոնալ թվերի համար, որոնց միջև գտնվում են a-ն և b-ն, ակներևաբար տեղի կունենային հետևյալ անհավասարությունները՝

s'>r'>r>s, որտեղից s'-s>r'-r>0

այնպես որ s'-s տարբերությունը, լեմմայի պաըմանին հակառակ չեր կարելի փոքր դարձնել, օրինակի համար, e=r'-r թվից։ Այս հակասությունն էլ հենց ապացուցում է մեր լեմման։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes