Տարրական ֆունկցիաների անընդհատությունը

    1.Ամբողջ և կոտորակային ռեցիոնալ ֆունկցիաներ։ Հաստատունի կամ հենց x անկախ փոփոխականի վերածվող ֆունկցիաների անընդհատությունն պարզ է։ Այստեղից, նախորդ համարի թեորեմայի հիման վրա, արդեն բխում է ցանկացած՝

    axm = a*x*x* • • x

    միանդամ արտահայտություն , որպես անընդհատ ֆունկցիաների արտարտադրյալի անընդհատությունը, իսկ այնուհետև նաև՝

    \[a_0 x^n +a_1 x^{n-1}+ ...+ a_{n-1}x + a_n\]

    բազմանդամի (ամբողջ ոացիոնալ ֆունկցիայի), որպես անընդհատ ֆունկցիաների գումարի, անընդհատությունը։ Ալդ րոլոր դեպքերում անընդհաությունը տեղի ունի (-∞, +∞) ողջ միջակայքում։

    Ակներև է, վերջապես, որ երկու բազմանդաւմների քանորդը (կոտորակային սազիոնալ ֆունկցիան)`

    \[\frac{a_0 x^n +a_1 x^{n-1}+ ...+ a_{n-1}x + a_n}{b_0 x^n +b_1 x^{n-1}+ ...+ b_{n-1}x + b_n}\]

    նույնպես անընդհատ կլինի x֊ի ամեն մի արժերի դեպքում, բացի այնպիսի արժեքներից, որոնք հայտարարը դարձնում են զրո։

    Մյուս տարրական ֆունկցիաների անընդհատությունն ապացուցենք հենվելով արդեն ուսումնասիրված թեորեմայի վրա:

    2․y =ax (a>l) ցուցչային ֆունկցիան մոնոտոն աճում է, երբ x-ը փոփոխվամ է X=(-∞;+∞) միջակայքում։ Նրա արժեքները դրական են և լցնում են Y=(0, +∞) ողջ միջակայքը․ այդ հետևում է x=logay լոգարիթմի գոյությունից ցանկացած y>0 համար։ Հետևաբար, ցուցչային ֆունկցիան անընդհատ է x-ի ցանկացած արժեքի համար։

    3․ Լոգարիթմական ֆունկցիա՝ y=logax, a>0, a≠1: Սահմանափակվելով a>1 դեպքով, տեսնում ենք, որ այդ ֆունկցիան աճում է, երբ x-ը փոփոխվում է X=(0, +∞) միջակայքում։ Ակներև է նաև, որ նա ընդունում է Y=(-∞; +∞) միջակայքին պատկանող ցանկացած y արժեքը, այն է՝ x=ay դեպքում։ Այստեղից էլ հետևում է ֆունկցիայի անընդհատությունը։

    4․ Աստիճանային ֆունկցիա՝ y=xμ (μ≠0): Երբ x-ը աճում է զրոյից մինչև +∞, ֆունկցիան μ>0 դեպքում աճում է, μ<0 դեպքում՝ նվազում, ընդունելով ցանկացած y դրական արժեք։ Հետևաբար, այս ֆունկցիան նույնպես անընդհատ է։

    5․ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝

    y=sin x, y=cos x, y= tg x,
    y=ctg x, y=sec x, y=csc x:

    Նախ կանգ առնենք y=sin x ֆունկցիայի վրա։ Նրա անընդհատությունը, երբ x-ը փոփոխվում է, ասենք թե X = [-π/2, π/2] միջակայքում, հետևում է այդ միջակայքում նրա մոնոտոնությունից, ինչպես նաև այն փաստից (որը հաստատվում է երկրաչափորեն), որ նա այդ ժամանակ ընդունում է -1 և +1-ի միջև գտնվող ցանկացած արժեք։ Նույնը վերաբերվում է նաև

    [kπ-π/2, kπ+π/2] k=0, ±1, ±2, …

    տեսքի ամեն մի միջակայքի։ Վերջնականապես տեսնում ենք, որ y=sin x ֆունկցիան անընդհատ է x-ի բոլոր արժեքների համար։ Նման ձևով ցույց է տրվում նաև y=cos x ֆունկցիայի անընդհատությունը՝ դարձյալ x-ի բոլոր արժեքների համար։

    Այստեղից՝ նախորդ դասի թեորեմայի համաձայն, արդեն հետևում է հետևյալ ֆունկցիաների անընդհատությունը՝

    \[tg x=\frac{sinx}{cosx}, sec x=\frac1{cos x}, ctg x =\frac{cos x}{sin x}, csc=\frac1{sinx}\]

    բացառությամբ առաջին երկու ֆունկցիաների համար (2k+1)π/2 տեսքի արժեքների, որոնք cosx-ը դարձնում է զրո,իսկ վերջին երկուսի համար πk տեսքի արժեքների, որոնք sinx-ն են դարձնում զրո։

    Վերջապես հիշատակենք՝

    6․ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝

    \[y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx\]

    Առաջին երկուսն անընդհատ են [-1,+1] միջակայքում, իսկ վերջին երկուսը՝ (-∞, +∞) միջակայքում։ Ապացուցը թողնվում է ընթերցողին։
    Ամփոփելով, կարելի է ասել, այսպիսով, որ հիմնական տարրական ֆունկցիաներն անընդհատ են բոլոր այն կետերում, որտեղ նրանք իմաստ ունեն, այսինքն՝ իրենց որոշման բնական տիրույթում։ Հետագայում մենք կապացուցենք բոլոր տարրական ֆունկցիաների անընդհատությունը՝ հենվելով անընդհատության փոխանցելիության հատկությունից, երբ օգտագործվում է հիմնական թվաբանական գործողություններ և անընդհատ ֆունկցիաների տեղադրում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru