Անընդհատ ֆունկցիաների սուպերպոզիցիան

    Կարելի է անընդհատ ֆունկցիաների ընդարձակ դասեր կառուցել այնպիսի ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի միջոցով, որոնց անընդհատ լինելն արդեն հայտնի է։

    Դրա հիմքում ընկած է հետևյալ թեորեման՝

    Թեորեմա։ Դիցուք φ(y) ֆունկցիան որոշված է Y միջակայքում, իսկ f(x) ֆունկցիան՝ X միջակայքում, ընդ որում վերջին ֆունկցիայի արժեքները դուրս չեն գալիս Y-ի սահմաններից, երբ x-ը փոփոխվում է X-ում։ Եթե f(x)-ն անընդհատ է X-ի x0 կետում, իսկ φ(y)-ն անընդհատ է Y-ի x0-ին համապատասխանող f(x0)=y0 կետում, ապա φ(f(x)) բարդ ֆունկցիան նույնպես անընդհատ կլինի x0 կետում։

    Ապացուցում։ Վերցնենք ε>0 կամավոր թիվը։ Քանի որ φ(y)-ն անընդհատ է y=y0 դեպքում, ապա կարելի է գտնել ε-ին համապատասխան այնպիսի σ>0 թիվ, որ

    |y-y0|<σ պայմանից հետևի |φ(y)-φ(y0)|<ε:

    Մյուս կողմից, x=x0 կետում f(x)-ի անընդհատության շնորհիվ, σ-ին համապատասխան կարելի է գտնել այնպիսի δ>0 թիվ, որ

    |x-x0|<δ-ից հետևի |f(x)-f(x0)|=|f(x)-y0|<σ:

    Հենց σ թվի ընտրության համաձայն այստեղից հետևում է, այնուհետև, որ՝

    |φ(f(x))-φ(y0)|=|φ(f(x))-φ(f(x0))|<ε:

    Սրանով էլ «ε-δ լեզվով» ապացուցվեց φ(f(x)) ֆունկցիայի անընդհատությունն x0 կետում։

    Օրինակի համար, եթե xμ (x>0) աստիճանային ֆունկցիան ներկայացնենք

    xμ=eμlnx

    բարդ ֆունկցիայի տեսքով, որն ստացվում է լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայից, ապա վերջին երկու ֆունկցիաների անընդհատությունից արդեն կհետևի աստիճանային ֆունկցիայի անընդհատությունը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru