Անընդհատ ֆունկցիաների սուպերպոզիցիան

Կարելի է անընդհատ ֆունկցիաների ընդարձակ դասեր կառուցել այնպիսի ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի միջոցով, որոնց անընդհատ լինելն արդեն հայտնի է։

Դրա հիմքում ընկած է հետևյալ թեորեման՝

Թեորեմա։ Դիցուք φ(y) ֆունկցիան որոշված է Y միջակայքում, իսկ f(x) ֆունկցիան՝ X միջակայքում, ընդ որում վերջին ֆունկցիայի արժեքները դուրս չեն գալիս Y-ի սահմաններից, երբ x-ը փոփոխվում է X-ում։ Եթե f(x)-ն անընդհատ է X-ի x0 կետում, իսկ φ(y)-ն անընդհատ է Y-ի x0-ին համապատասխանող f(x0)=y0 կետում, ապա φ(f(x)) բարդ ֆունկցիան նույնպես անընդհատ կլինի x0 կետում։

Ապացուցում։ Վերցնենք ε>0 կամավոր թիվը։ Քանի որ φ(y)-ն անընդհատ է y=y0 դեպքում, ապա կարելի է գտնել ε-ին համապատասխան այնպիսի σ>0 թիվ, որ

|y-y0|<σ պայմանից հետևի |φ(y)-φ(y0)|<ε:

Մյուս կողմից, x=x0 կետում f(x)-ի անընդհատության շնորհիվ, σ-ին համապատասխան կարելի է գտնել այնպիսի δ>0 թիվ, որ

|x-x0|<δ-ից հետևի |f(x)-f(x0)|=|f(x)-y0|<σ:

Հենց σ թվի ընտրության համաձայն այստեղից հետևում է, այնուհետև, որ՝

|φ(f(x))-φ(y0)|=|φ(f(x))-φ(f(x0))|<ε:

Սրանով էլ «ε-δ լեզվով» ապացուցվեց φ(f(x)) ֆունկցիայի անընդհատությունն x0 կետում։

Օրինակի համար, եթե xμ (x>0) աստիճանային ֆունկցիան ներկայացնենք

xμ=eμlnx

բարդ ֆունկցիայի տեսքով, որն ստացվում է լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայից, ապա վերջին երկու ֆունկցիաների անընդհատությունից արդեն կհետևի աստիճանային ֆունկցիայի անընդհատությունը։

Օգտվեք ինտերնետից ավելի հեշտ

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes