Մի քանի սահմանների հաշվումը

    Ֆունկցիաների անընդհատությունը կարելի է բազմազան եղանակներով օգտագործել սահմաններ հաշվելիս։ Այստեղ մենք, հենվելով տարրական ֆունկցիաների անընդհատության վրա, ստանանք մի քանի կարևոր սահմաններ, որոնք մեզ պետք կգան հաջորդ գլխում․

    \[1. \lim_{α \to 0} \frac{log_a (1+α)}{α}=log_a e \quad \left( \frac{0}{0} \right)\]

    \[2. \lim_{α \to 0} \frac{a^α -1}{α}=ln a \quad  \left( \frac{0}{0} \right)\]

    \[3. \lim_{α \to 0} \frac{(1+α )^μ -1}{α}=μ \quad \left( \frac{0}{0} \right)\]

    Ունենք՝

    \[\frac{log_a (1+α)}{α}=log_a (1+α)^{\frac{1}{α}}\]

    և քանի որ աջ մասում լոգարիթմի տակ գրված արտահայտությունը ձգտում է e-ի, երբ α-ն ձգտում է զրոյի, ապա (լորարիթմական ֆունկցիայի անընդհատության համաձայն) նրա լոգարիթմը կձգտի logae-ին, որը և պետք էր ապացուցել։

    Նշենք ապացուցված բանաձևի մի մասնավոր դեպք, երբ խոսքը վերաբերվում է բնական լոգարիթմին (a=e). այդ դեպքում՝

    \[\lim_{α \to 0} \frac{ln(1+α)}{α}=1\]

    Բնական լոգարիթմի սիստեմի առավելությունները, ըստ էության, արմատավորված են հենց այս արդյունքի պարզության մեջ։

    Դառնալով 2) բանաձևին, նշանակենք aα – 1 = β. այդ դեպքում, երբ α ->0, (ցուցչային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ) նաև β->0։ Այնուհետև, ունենք, α=loga(1+β), այնպես որ, եթե օգտվենք արդեն ապացուցված արդյունքից, կստանանք՝

    \[\lim_{α \to 0} \frac{a^α -1}{α}=\lim_{β \to 0}\frac{β}{log_a (1+β)} = \frac{1}{log_a e}=ln a\]

    որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Մասնավոր դեպքում, եթե վերցնենք α= 1/n (n= 1, 2, 3, …) ապա կստանանք հետաքրքիր բանաձև՝

    \[\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt[n]{a}-1)=ln a  \quad (\infty ⋅ 0)\]

    Վերջապես, 3) բանաձևն ապացուցելու համար նշանակենք (1+α)μ-1 = β. երբ α->0 (աստիճանային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ) նաև β->0։ (1+α)μ = 1 + β հավասարությունը լոգարիթմելով, կստանանք՝

    μln(1+α)=ln(1 + β)

    այս առնչության օգնությամբ, տրված արտահայտությունը ձևափոխենք այսպես՝

    \[\frac{(1+α )^μ -1}{α}=\frac{β}{α}=\frac{β}{ln(1+β)}⋅μ⋅\frac{ln(1+α)}{α}:\]

    Ըստ ապացուցվածի,

    \[\frac{β}{ln(1+β)}, \frac{ln(1+α)}{α}\]

    երկու արտահայտություններն էլ ձգտում են 1-ի, այնպես որ ամբողջ արտադրյալը կունենա μ սահմանը, որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru