Հոդվածների այցերի քանակը
87410

Աստիճանա-ցուցչային արտահայտություններ

Այժմ դիտարկենք uv աստիճանա-ցուցչային արտահայտությունը, որտեղ u-ն և v-ն ֆունկցիաներ են միևնույն x փոփոխականից, որի փոփոխման տիրույթը X-ն է՝ x0 խտացման կետով․ մասնավորապես u-ն և v-ն կարող են լինել նաև n բնական արգումենտի un և vn ֆունկցիաներ։

Դիցուք գոյություն ունեն 

\[\lim_{x \to x_0}u = a, \lim_{x \to x_0}v = b\]

վերջավոր սահմաններ, ընդ որում a>0: Պահանջվում է գտնել uv արտահայտության սահմանը։

Վերջինս ներկայացնենք այս տեսքով՝

uv= evlnu

v և ln u ֆունկցիաներն ունեն հետևյալ սահմանները՝

\[\lim_{x \to x_0}v = b, \lim_{x \to x_0}\ln u = \ln a\]

(այստեղ օգտագործվում է լոգարիթմական ֆունկցիայի անընդհատությունը), այնպես որ՝

\[\lim_{x \to x_0} v \ln u =b \ln a:\]

Այստեղից, ցուցչային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ, վերջնականապես ստացվում է՝

\[\lim_{x \to x_0}u^v =e^{b \ln a}=a^b:\]

uv արտահայտության սահմանը կարելի է ստանալ նաև այն դեպքում, երբ հայտնի է vlnu արտադրյալի c սահմանը՝ վերջավոր կամ անվերջ։ Երբ c-ն վերջավոր է, որոնելի սահմանը կլինի ակներևաբար ec-ը։ իսկ եթե c=-∞ կամ +∞, ապա այդ սահմանը կլինի, համապատասխանաբար, 0 կամ +∞։

Իսկ c=lim{v ln u} սահմանի որոշումը միայն տրված a և b սահմանների միջոցով միշտ հնարավոր է, բացի այն դեպքից, երբ այդ արտադրյալը (երբ x-> x0) ներկայացնում է ∞⋅0 տեսքի անորոշություն։ Հեշտ է նկատել, որ այդ բացառիկ դեպքերը համապատասխանում են a և b արժեքների հետևյալ կոմբինացիաներին՝

a=1, b=0;
a=0, b=0;
a=+∞, b=0:

Այս դեպքերում ասում են, որ uv արտահայտությունը ներկայացնում է 1, 00, ∞0 տեսքի անորոշություն (նայած դեպքին)։ Այստեղ արդեն uv արտահայտության սահմանի հարցը լուծելու համար բավական չէ գիտենալ միայն u և v ֆունկցիաների սահմանները, այլ պետք է հաշվի առնել նաև այն օրենքները, որով նրանք ձգտում են իրենց սահմաններին։
(1+1/n)n արտահայտությունը, երբ n->∞, կամ ավելի ընդհանուր (1+α)1/α արտահայտությունը, երբ α->0, որոնք ձգտում են e սահմանը, հանդիսանում է 1 տեսքի անորոշության օրինակ։ Ինչպեսարդեն նշվել է, բոլոր տեսակների անորոշությունների բացման ընդհանուր մեթոդները կտրվեն հետագայում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes