Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Աստիճանա-ցուցչային արտահայտություններ

Այժմ դիտարկենք uv աստիճանա-ցուցչային արտահայտությունը, որտեղ u-ն և v-ն ֆունկցիաներ են միևնույն x փոփոխականից, որի փոփոխման տիրույթը X-ն է՝ x0 խտացման կետով․ մասնավորապես u-ն և v-ն կարող են լինել նաև n բնական արգումենտի un և vn ֆունկցիաներ։

Դիցուք գոյություն ունեն 

\[\lim_{x \to x_0}u = a, \lim_{x \to x_0}v = b\]

վերջավոր սահմաններ, ընդ որում a>0: Պահանջվում է գտնել uv արտահայտության սահմանը։

Վերջինս ներկայացնենք այս տեսքով՝

uv= evlnu

v և ln u ֆունկցիաներն ունեն հետևյալ սահմանները՝

\[\lim_{x \to x_0}v = b, \lim_{x \to x_0}\ln u = \ln a\]

(այստեղ օգտագործվում է լոգարիթմական ֆունկցիայի անընդհատությունը), այնպես որ՝

\[\lim_{x \to x_0} v \ln u =b \ln a:\]

Այստեղից, ցուցչային ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ, վերջնականապես ստացվում է՝

\[\lim_{x \to x_0}u^v =e^{b \ln a}=a^b:\]

uv արտահայտության սահմանը կարելի է ստանալ նաև այն դեպքում, երբ հայտնի է vlnu արտադրյալի c սահմանը՝ վերջավոր կամ անվերջ։ Երբ c-ն վերջավոր է, որոնելի սահմանը կլինի ակներևաբար ec-ը։ իսկ եթե c=-∞ կամ +∞, ապա այդ սահմանը կլինի, համապատասխանաբար, 0 կամ +∞։

Իսկ c=lim{v ln u} սահմանի որոշումը միայն տրված a և b սահմանների միջոցով միշտ հնարավոր է, բացի այն դեպքից, երբ այդ արտադրյալը (երբ x-> x0) ներկայացնում է ∞⋅0 տեսքի անորոշություն։ Հեշտ է նկատել, որ այդ բացառիկ դեպքերը համապատասխանում են a և b արժեքների հետևյալ կոմբինացիաներին՝

a=1, b=0;
a=0, b=0;
a=+∞, b=0:

Այս դեպքերում ասում են, որ uv արտահայտությունը ներկայացնում է 1, 00, ∞0 տեսքի անորոշություն (նայած դեպքին)։ Այստեղ արդեն uv արտահայտության սահմանի հարցը լուծելու համար բավական չէ գիտենալ միայն u և v ֆունկցիաների սահմանները, այլ պետք է հաշվի առնել նաև այն օրենքները, որով նրանք ձգտում են իրենց սահմաններին։
(1+1/n)n արտահայտությունը, երբ n->∞, կամ ավելի ընդհանուր (1+α)1/α արտահայտությունը, երբ α->0, որոնք ձգտում են e սահմանը, հանդիսանում է 1 տեսքի անորոշության օրինակ։ Ինչպեսարդեն նշվել է, բոլոր տեսակների անորոշությունների բացման ընդհանուր մեթոդները կտրվեն հետագայում։

Free Joomla! templates by AgeThemes