Խզումների դասակարգումը։ Օրինակներ

    Ավելի հանգամանորեն կանգ առնենք x0 կետում ֆունկցիայի, ասենք թե՝ աջից անընդհատ կամ խզվող լինելու հարցի վրա։ Ենթադրելով, որ f(x) ֆունկցիան այդ կետից դեպի աջ ընկած մի որոշ [x0, x0+h] (h>0) միջակայքում որոշված է, տեսնում ենք, որ աջից անընդհատության հապար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի առաջին՝ գոյություն ունենա f(x) ֆունկցիայի f(x0+0) սահմանը (վերջավոր), երբ x-ը աջից ձգտում է x0-ին, և երկրորդ՝ այդ սահմանը հավասար լինի ֆունկցիայի f(x0) արժեքին այդ կետում։

    Հետևաբար, հեշտ է հասկանալ, թե ինչպիսի հանգամանքներում f(x) ֆունկցիայի համար աջից խզում կառաջանա x0 կետում։ Կարող է պատահել, որ թեպետև f(x0+0) վերջավոր սահման գոյություն ունի, սակայն այն հավասար չէ f(x0) արժեքին․ այդպիսի խզումն անվանում են սովորական կամ առաջին տեսակի խզում։

    Բայց կարող է այնպես լինել, որ f(x0+0) սահմանն անվերջ է կամ բոլորովին գոյություն չունի։ Այդպիսի խզումն անվանում են երկրորդ տեսակի։

    Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է միայն (x0, x0+h] կիսաբաց միջակայքում, սակայն գոյություն ունի

    \[f(x_0)=\lim_{x \to x_0 + 0}f(x)\]

    վերջավոր սահմանը, ապա բավական է միայն լրացուցիչ կերպով որոշել ֆունկցիան x0 կետում, f(x0)-ն ընդունելով հավասար հենց այն սահմանին, որպեսզի ֆունկցիան աջից անընդհատ դառնա x0 կետում։ Առաջիկայում մենք սովորաբար այդպես էլ ենթադրելու ենք։ Ի դեպ, եթե ֆունկցիան որոշված է նաև x0-ից ձախ, [x0-h, x0) միջակայքում, և գոյություն ունի

    \[f(x_0 -0)=\lim_{x \to x_0 – 0}f(x)\]

    վերջավոր սահմանը, ապա x0 կետում ֆունկցիայի անընդհատությունը վերականգնել կարելի է միայն այն դեպքում, երբ այդ երկու սահմաններն իրար հավասար են։

    Եթե, վերջապես, (x0, x0+h) կիսաբաց միջակայքում որոշված f(x) ֆունկցիայի համար x0 կետում աջից վերջավոր սահման գոյություն չունի, ապա ասում են, որ ֆունկցիան x0 կետում աջից երկրորդ տեսակի (սեռի) խզում ունի, չնայած այն բանին, որ նա այդ կետում ամենևին որոշված էլ չէ, այդպիսի դեպքում ինչպես էլ լրացուցիչ կերպով ֆունկցիան որոշելու լինենք x0 կետում, նա անխուսափելիորեն կմնա խզվող այդ կետում։

    Օրինակներ։ 1) Դիտարկենք y=E(x) (թվի ամբողջ մաս) ֆունկցիան։ Եթե x0-ն ամբողջ թիվ չէ և E(x0)=m, այսինքն՝ m<x0<m+1, ապա (m, m+1) միջակայքին պատկանող բոլոր x-երի համար ևս E(x)=m, այնպես որ ակներև է, ֆունկցիայի անընդհատությունը x0 կետում։

    Այլ բան է ստացվում, երբ x0-ն հավասար է m ամբողջ թվի։ Այդ կետում աջից անընդհատություն տեղի ունի, քանի որ այդ կետից աջ, այն է՝ (m, m+1) միջակայքում E(x)=m, այնպես որ նաև E(m+0)=m=E(m): Մինչդեռ x0=m կետից ձախ, ընդհակառակն, (m-1, m) միջակայքում E(x)=m-1, հետևաբար նաև E(m-0)= m-1, որը հավասար չէ E(m)-ին և, հետևաբար x=m կետում ձախից ֆունկցիան ունի սովորական խզում կամ թռիչք։

    \[2) f(x)= \frac{1}{x^3} \quad (x≠0) \]

    ֆունկցիայի համար x=0 կետը երկու կողմից էլ երկրորդ տեսակի խզման կետ է․ այդ կետում և աջից, և ձախից ֆունկցիան ձգտում է անվերջության՝

    \[f(+0)= \lim_{x \to +0}\frac{1}{x^3}=+∞, f(-0)=\lim_{x \to -0}\frac{1}{x^3}=-∞:\]

    \[3) f(x)=sin \frac{1}{x} \quad (x≠0) \]

    ֆունկցիան նույնպես, որը դիտարկվել էր նախկինում, x=0 կետում ունի երկրորդ տեսակի խզում երկու կողմից էլ, սակայն այս անգամ այն պատճառով, որ ֆունկցիան այդ կետում բոլորովին չունի սահման ոչ աջից, ոչ ձախից։

    4) Իսկ եթե վերցնենք

    \[f(x)=x sin \frac{1}{x} \quad (x≠0) \]

    ֆունկցիան, ապա, ընդհակառակն, ինչպես տեսել էինք, դրա համար գոյություն ունի վերջավոր սահման՝

    \[\lim_{x \to 0}f(x)=0\]

    (որպես y=0 և y=x երկու զրոյին ձգտող ֆունկցիաների մեջ գտնվող ֆունկցիա), և եթե ընդունենք լրացուցիչ կերպով f(0)=0, մենք ֆունկցիայի անընդհատությունը կվերականգնենք նաև այդ կետում։

    5) Որոշենք, վերջապես, երկու ֆունկցիաներ, 0≠x -ի համար հետևյալ հավասարումներով՝

    \[f_1(x)= a^{\frac{1}{x}}(a>1), f_2(x)= arctg \frac1x\]

    և լրացուցիչ պայմանով՝

    f1(0)=f2(0)=0:

    Ինչպես տեսել ենք այս դասում,

    f1(+0)=+∞, f1(-0)=0
    f2(+0)=π/2, f2(-0)=-π/2:

    Այսպիսով, x=0 կետում առաջին ֆունկցիան աջից ունի երկրորդ տեսակի խզում, ձախից անընդհատ է, իսկ երկրորդ ֆունկցիան երկու կողմից էլ թռիչք ունի։

    Վերջում կանգ առնենք սովորաբար դիտարկվող ֆունկցիաների մի կարևոր դասի վրա՝ մոնոտոն ֆունկցիաների վրա, և ցույց տանք, որ նրանց համար կարող են լինել թերևս միայն սովորական խզումներ։ Այդ հետևում է նրանից, որ այդպիսի f(x) ֆունկցիայի համար նրա որոշման x միջակայքին պատկանող յուրաքանչյուր x0 կետում միշտ գոյություն ունեն f(x0+0) և f(x0-0) վերջավոր սահմաններ (կամ՝ նրանցից մեկը, եթե x0-ն x միջակայքի ծայրակետն է)։ Դիցուք, օրինակի համար, f(x) ֆունկցիան մոնոտոն աճում է և x0-ն X միջակայքի ձախ ծայրը չէ․ այդ դեպքում x0>x-երի համար f(x)-ի արժեքները վերևից սահմանափակ կլինեն f(x0) թվով և մեր անցած թեորեմայի համաձայն գոյություն ունի

    \[f(x_0 -0)=\lim_{x \to x_0 -0}f(x)\]

    վերջավոր սահմանը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru