Թեորեմա միջակա արժեքի վերաբերյալ

    Նախորդ դասում ապացուցած թեորեման անմիջականորեն ընդհանրացվում է հետևյալ կերպ։

    Բոլցանոյի-Կոշիի երկրորդ թեորեման։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a,b] փակ միջակայքում և այդ միջակայքի ծայրակետերում ընդունում է իրարից տարբեր արժեքներ՝

    f(a)=A, f(b)=B:

    Այդ դեպքում ինչպիսին էլ լինի A-ի և B-ի միջև գտնվող C թիվը, a և b կետերի միջև կգտնվի այնպիսի c կետ, որ

    f(c)=C

    [a, b] միջակայքում դիտարկենք φ(x)=f(x)-C օժանդակ ֆունկցիան։ Այս ֆունկցիան [a, b] միջակայքում անընդհատ է և նրա ծայրերում ունի տարբեր նշաններ՝

    φ(a)=f(a)-C=A-C<0, φ(b)=f(b)-C=B-C>0:

    Ուրեմն, ըստ առաջին թեորեմայի, a-ի և b-ի միջև կգտնվի այնպիսի c կետ, որտեղ φ(c)=0, այսինքն՝

    f(c)-C=0, կամ՝ f(c)=C,

    ինչ և պետք էր ապացուցել։

    Այսպիսով մենք ապացուցեցինք միջակայքում անընդհատ f(x) ֆունկցիայի մի կարևոր հատկություն՝ իր մեկ արժեքից մյուսին անցնելիս, յուրաքանչյուր միջակա թիվ ֆունկցիան գոնե մեկ անգամ ընդունում է որպես իր արժեք։

    Առաջին հայացքից թվում է, թե այս հատկությունը բացահայտում է ֆունկցիայի անընդհատության բուն էությունը։ Սակայն հեշտ է կառուցել կանխահայտորեն խզվող ֆունկցիաներ, որոնք այնուամենայնիվ օժտված են այդ հատկությամբ։ Օրինակի համար, հետևյալ ֆունկցիան՝

    f(x)=sin (1/x) (x≠0), f(0)=0

    x=0 խզման կետը պարունակող ցանկացած միջակայքում ընդունում է իր համար ընդհանրապես հնարավոր բոլոր արժեքները՝ -1-ից մինչև +1-ը։

    Անընդհատ ֆունկցիայի ապացուցված հատկությունից բխում է այսպիսի (ըստ էության նրան համարժեք)

    Հետևանք։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է որևիցե X միջակայքում (փակ կամ բաց, վերջավոր կամ անվերջ), ապա նրա ընդունելիք արժեքներն իրենք նույնպես անընդմեջ լցնում են մի որոշ միջակայք։

    Ֆունկցիայի արժեքների {f(x)} բազմությունը նշանակենք Y-ով։

    Դիցուք

    m= infY M=supY

    և l-ը կամայական թիվ է m-ի և M ի միջև՝

    m<l<M:

    Անհրաժեշտաբար կգտնվեն ֆունկցիայի այնպիսի f(x1) և f(x2) արժեքներ (x1-ը և x2-ը վերցրած են X միջակայքից), որ՝

    m≤f(x1)<l<f(x2)≤M.

    այդ բխում է թվային բազմության ճշգիտ եզրերի հենց սահմանումից։ Բայց այդ դեպքում, ապացուցված թեորեմայի համաձայն, x1-ի և x2-ի միջև գոյություն ունի այնպիսի x=x0 արժեք, (ակներևորեն, նույնպես X-ին պատկանող), որ f(x0) արժեքը ճշգրիտ հավասար է l-ին, հետևաբար, այդ թիվը մտնում է Y բազմության մեջ։

    Այսպիսով, Y բազմությունն իրենից ներկայացնում է մի միջակայք m և M ծայրակետերով (որոնք իրենք կարող են այդ միջակայքին պատկանել կամ ոչ՝ նայած դեպքին)։
    Մենք արդեն տեսել էինք, որ մոնոտոն ֆունկցիայի հենց նոր ձևակերպված հատկությունից հետևում է նրա անընդհատությունը։ Որ ոչ միշտ է այդպես, ցույց է տալիս վերևում բերված օրինակը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru