Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է (հետևապես, ընդունում է վերջավոր արժեքներ) մի որոշ վերջավոր միջակայքի բոլոր x արժեքների համար, ապա այդտեղից դեռևս չի բխում ֆունկցիայի սահմանափակությունը, այսինքն՝նրա ստանալիք արժեքների {f(x)} բազմության սահմանափակությունը։ Օրինակ, դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է այսպես՝

Այս ֆունկցիան ընդունում է միայն վերջավոր արժեքներ, սակայն նա սահմանափակ չէ, որովհետև երբ x-ը մոտենում է 0-ին, նա կարող է ընդունել ցանկացած չափով մեծ արժեքներ։ Նկատենք ի միջի այլոց, որ (0, 1] կիսաբաց միջակայքում նա անընդհատ է, բայց x=0 կետում խզում ունի։

Այլ արդյունք է ստացվում, երբ ֆունկցիան անընդհատ է լինում փակ միջակայքում։

Վայերշտրասի առաջին թեորեման։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, ապա նա սահմանափակ է և ներքևից, և վերևից, այսինքն՝ գոյություն ունեն այնպիսի m և M հաստատուն վերջավոր թվեր, որ՝

m≤f(x)≤M, երբ a≤x≤b:

Ապացուցումը կատարենք հակասող ընդունելիության եղանակով․ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան, երբ x-ը փոփոխվում է [a, b] միջակայքում, սահմանափակ չէ, ասենք թե՝ վերևից։

Այդ դեպքում, յուրաքանչյուր n բնական թվի համար [a, b] միջակայքում կգտնվի այնպիսի x=x_n արժեք, որ՝

f(x_n)>n:

Ըստ Բոլցանոյի-Վայերշտրասի լեմմայի, {x_n} հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել այնպիսի {x_nk} մասնակի հաջորդականություն, որը զուգամիտի վերջավոր սահմանի՝

Ընդ որում, ակներևաբար, a≤x₀≤b: x₀ կետում ֆունկցիայի անընդհատության հետևանքով, այդ ժամանակ պետք է նաև՝

Իսկ այս հնարավոր չէ, որովհետև f(x_n)>ից հետևում է, որ

Ստացված հակասությունն էլ հենց հակասում է թեորեման։