Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է (հետևապես, ընդունում է վերջավոր արժեքներ) մի որոշ վերջավոր միջակայքի բոլոր x արժեքների համար, ապա այդտեղից դեռևս չի բխում ֆունկցիայի սահմանափակությունը, այսինքն՝նրա ստանալիք արժեքների {f(x)} բազմության սահմանափակությունը։ Օրինակ, դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է այսպես՝
Այս ֆունկցիան ընդունում է միայն վերջավոր արժեքներ, սակայն նա սահմանափակ չէ, որովհետև երբ x-ը մոտենում է 0-ին, նա կարող է ընդունել ցանկացած չափով մեծ արժեքներ։ Նկատենք ի միջի այլոց, որ (0, 1] կիսաբաց միջակայքում նա անընդհատ է, բայց x=0 կետում խզում ունի։
Այլ արդյունք է ստացվում, երբ ֆունկցիան անընդհատ է լինում փակ միջակայքում։
Վայերշտրասի առաջին թեորեման։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, ապա նա սահմանափակ է և ներքևից, և վերևից, այսինքն՝ գոյություն ունեն այնպիսի m և M հաստատուն վերջավոր թվեր, որ՝
m≤f(x)≤M, երբ a≤x≤b:
Ապացուցումը կատարենք հակասող ընդունելիության եղանակով․ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան, երբ x-ը փոփոխվում է [a, b] միջակայքում, սահմանափակ չէ, ասենք թե՝ վերևից։
Այդ դեպքում, յուրաքանչյուր n բնական թվի համար [a, b] միջակայքում կգտնվի այնպիսի x=xn արժեք, որ՝
f(xn)>n:
Ըստ Բոլցանոյի-Վայերշտրասի լեմմայի, {xn} հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել այնպիսի {xnk} մասնակի հաջորդականություն, որը զուգամիտի վերջավոր սահմանի՝
Ընդ որում, ակներևաբար, a≤x0≤b: x0 կետում ֆունկցիայի անընդհատության հետևանքով, այդ ժամանակ պետք է նաև՝
Իսկ այս հնարավոր չէ, որովհետև f(xn)>ից հետևում է, որ
Ստացված հակասությունն էլ հենց հակասում է թեորեման։
