Թեորեմա ֆունկցիայի սահմանափակության վերաբերյալ

    Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված է (հետևապես, ընդունում է վերջավոր արժեքներ) մի որոշ վերջավոր միջակայքի բոլոր x արժեքների համար, ապա այդտեղից դեռևս չի բխում ֆունկցիայի սահմանափակությունը, այսինքն՝նրա ստանալիք արժեքների {f(x)} բազմության սահմանափակությունը։ Օրինակ, դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված է այսպես՝

    \[f(x)=\frac1x \quad 0<x≤1, f(0)=0:\]

    Այս ֆունկցիան ընդունում է միայն վերջավոր արժեքներ, սակայն նա սահմանափակ չէ, որովհետև երբ x-ը մոտենում է 0-ին, նա կարող է ընդունել ցանկացած չափով մեծ արժեքներ։ Նկատենք ի միջի այլոց, որ (0, 1] կիսաբաց միջակայքում նա անընդհատ է, բայց x=0 կետում խզում ունի։

    Այլ արդյունք է ստացվում, երբ ֆունկցիան անընդհատ է լինում փակ միջակայքում։

    Վայերշտրասի առաջին թեորեման։ Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, ապա նա սահմանափակ է և ներքևից, և վերևից, այսինքն՝ գոյություն ունեն այնպիսի m և M հաստատուն վերջավոր թվեր, որ՝

    m≤f(x)≤M, երբ a≤x≤b:

    Ապացուցումը կատարենք հակասող ընդունելիության եղանակով․ ենթադրենք, թե f(x) ֆունկցիան, երբ x-ը փոփոխվում է [a, b] միջակայքում, սահմանափակ չէ, ասենք թե՝ վերևից։

    Այդ դեպքում, յուրաքանչյուր n բնական թվի համար [a, b] միջակայքում կգտնվի այնպիսի x=xn արժեք, որ՝

    f(xn)>n:

    Ըստ Բոլցանոյի-Վայերշտրասի լեմմայի, {xn} հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել այնպիսի {xnk} մասնակի հաջորդականություն, որը զուգամիտի վերջավոր սահմանի՝

    \[x_{n_k} \to x_0, (k \to \infty),\]

    Ընդ որում, ակներևաբար, a≤x0≤b: x0 կետում ֆունկցիայի անընդհատության հետևանքով, այդ ժամանակ պետք է նաև՝

    \[f(x_{n_k}) \to f(x_0),\]

    Իսկ այս հնարավոր չէ, որովհետև f(xn)>ից հետևում է, որ

    \[f(x_{n_k}) \to \infty :\]

    Ստացված հակասությունն էլ հենց հակասում է թեորեման։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru