Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Հավասարաչափ անընդհատության վերաբերյալ թեորեման

Չափազանց նշանակալից է այն հանգամանքը, որ [a, b] փակ միջակայքում նման դրություն (այսինքն՝ անընդհատ ֆունկցիան չբավարարի հավասարաչափ անընդհատ լինելու պայմանին) լինել չի կարող, ինչպես այդ երևում է հետևյալ թեորեմայից։

Կանտորի թեորեման: Եթե f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, ապա նա նաև հավասարաչափ անընդհատ է այդ միջակայքում։

Ապացուցենք հակասող ընդունելիության մեթոդով։ Դիցուք որևէ որոշակի ε>0 թվի համար գոյություն չունի այնպիսի δ թիվ, որի մասին խոսվում է հավասարաչափ անընդհատության սահմանման մեջ։ Այդ դեպքում, ինչպիսի δ>0 թիվ էլ որ վերցնելու լինենք, [a, b] միջակայքում կգտնվեն երկու այնպիսի x և x' արժեքներ, որ |x'-x|<δ, և այնուամենայնիվ՝ |f(x')-f(x)|≥ε:

Այժմ վերցնենք դրական թվերի այնպիսի {δn} հաջորդականություն, որ δn ->0: Վերևում ասվածի շնորհիվ, յուրաքանչյուր δn -ի համար [a, b] – ում կգտնվեն այնպիսի xn և x'n արժեքներ (նրանք կկատարեն x-ի և x'-ի դերը), որ n=1, 2, 3, … դեպքում՝

|xn – x'n|<δn և այնուամենայնիվ |f(xn)-f(x'n)|≥ε:

Ըստ Բոլցանո-Վայերշտրասի լեմմայի {xn} սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի կլիներ առանձնացնել այնպիսի մասնակի հաջորդականություն, որը զուգամիտեր [a, b] միջակայքի մի որոշ x0 կետի։ Նշանակումները չբարդացնելու համար ընդունենք, որ հենց ինքը {xn} հաջորդականությունը զուգամիտում է x0-ին։

Քանի որ xn-x'n ->0 (որովհետև |xn – x'n|<δn, իսկ δn ->0), ուցտի միաժամանակ, x0 կետում ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ, պետք է որ՝

f(x)->f(x0) և f(x'n)->f(x0),

ուստի կունենանք նաև

f(x)-f(x')->0,

իսկ այս կհակասեր այն ենթադրությանը, որ n-ի բոլոր արժեքների համար՝

|f(xn)-f(x'n)|≥ε

Ապացուցված թեորեմայից անմիջապես բխում է մի հետևանք, որը հետագայում մեզ համար օգտակար է լինելու։

Հետևանք։ Դիցուք f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում։ Այդ դեպքում, տրված ε>0 թվին համապատասխան կգտնվի այնպիսի δ>0 թիվ, որ եթե միջակայքը կամայական եղանակով տրոհենք δ-ից փոքր երկարություն ունեցող մասնակի միջակայքերի, ապա դրանցից յուրաքանչյուրում f(x) ֆունկցիայի տատանումը փոքր լինի ε-ից։

Իրոք, եթե տրված ε-ի համար որպես δ վերցնենք այն թիվը, որի մասին խոսվում է հավասարաչափ անընդհատության սահմանման մեջ, ապա δ-ից փոքր երկարություն ունեցող մասնակի միջակայքում ֆունկցիայի ցանկացած երկու արժեքների տարբերությունը բացարձակ մեծությամբ փոքր կինի ε-ից։ Մասնավորապես, այդ ճիշտ է նաև այդ արժեքներից մեծագույնի և փոքրագույնի տարբերության նկատմամբ, որը և տալիս է ֆունկցիայի տատանումը մատնանշվածմասնակի միջակայքում։

Այսպես, կես հարյուրամյակի ընթացքում մեկը մյուսի ետևից ապացուցվել են անընդհատ ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները՝ սկսած առավել «ակներևներից» և վերջացրած այնպիսի նուրբ հատկությամբ, ինչպիսին հավասարաչափ անընդհատությունն է, որ ապացուցեցինք վերջին թեոեմայում։ Մեկ անգամ էլ ընդգծենք, որ այդ ապացուցումները հարկ եղած խստությունն ստացան միայն իրական թվերի թվաբանական տեսությունների հիման վրա, որոնք զարգացվեցին նախանցյալ դարի երկրորդ կեսում։

Free Joomla! templates by AgeThemes