Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Շարժվող կետի արագությունը որոշելու խնդիրը

Անցնելով դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմունքների շարադրմանը, մենք ընթերցողի ուշադրությունը հրավիրում ենք այն իրողության վրա, որ այդ հաշվի գաղափարները ծագել են դեռևս XVII դարում, այսինքն՝ շատ ավելի առաջ այն նորամիտ տեսություններից, որոնք մենք ուսումնասիրեցինք նախորդ գլուխներում։ Միայն սույն հատորի վերջին գլխում մենք հնարավորություն կունենանք շոշափելու մաթեմատիկական անալիզի նախապատմության կարևորագույն մոմենտները և բնութագրելու երկու մեծ մաթեմատիկոսների՝ Նյուտոնի և Լայբնիցի վաստակը, որոնք իրենց նախորդների աշխատանքն ավարտեցին՝ ստեղծելով իսկապես նոր հաշիվ։ Մեր շարադրանքում մենք ղեկավարվելու ենք խստության վերաբերյալ արդեն ժամանակակից պահանջմունքներով և ոչ թե հարցի պատմությամբ։

Որպես դիֆերենցիալ հաշվի նախամուտք, սույն թեմայում դիտարկենք արագության խնդիրը, իսկ մոտակա դասերում կդիտարկենք շոշափողի խնդիրը․ երկու խնդիրն էլ պատմականորեն կապված են եղել դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական գաղափարի ձևավորման հետ՝ այն գաղափարի, որը հետագայում ստացել է ածանցյալ անունը։

Սկսենք մասնավոր օրինակից, այն է՝ դիտարկենք ծանր նյութական կետի ազատ անկումը (դատարկության մեջ, որպեսզի հաշվի չառնենք օդի դիմադրությունը):

Եթե t(վ) ժամանակը հաշվվում է անկման սկզբից, ապա այդ ժամանակամիջոցում անցած s(մ) ճանապարհը, ըստ հայտնի բանաձևի, կարտահայտվի այսպես՝

\[s= \frac{gt^2}{2},\]

որտեղ g=9,81 (տրված է մոտավոր արժեքը)։ Այստեղից ելնելով, պահանջվում է որոշել կետի շարժման v արագությունը տրված t պահին, երբ կետը գտնվում է M դիրքում (գծագիր 31)։ t փոփոխականին տանք մի որոշ Δt աճ և դիտարկենք t+Δt պահը, երբ կետը կլինի M1 դիրքում։ Δt ժամանակամիջոցում ճանապարհի MM1 աճը նշանակենք Δs-ով։

Ճանապարհի բանաձևի մեջ t-ի փոխարեն տեղադրելով t+Δt, ճանապարհի նոր արժեքի համար կստանանք

\[s+Δs=\frac{g}{2} (t+Δt)^2\]

արտահայտությունը, որտեղից՝
\[Δs=\frac{g}{2} (tΔt+Δt^2)\]

Δs-ը բաժանելով Δt-ի վրա, մենք կստանանք կետի անկման միջին արագությունը MM1 տեղամասում, այն է՝
\[v_{միջ}= \frac{Δs}{Δt}=t+\frac g2 ⋅Δt:\]

Ինչպես տեսնում ենք, այդ արագությունը փոփոխվում է Δt-ի հետ միասին և այնքան ավելի լավ է բնորոշում ընկնող մարմնի վիճակը t պահին, որքան փոքր է այդ պահից հետո անցած Δt ժամանակամիջոցը։

Կետի v արագություն ժամանակի t պահին անվանում են այն սահմանը, որին ձգտում է Δt ժամանակամիջոցում vմիջ միջին արագությունը, երբ Δt-ն ձգտում է 0-ի։

\[v=\lim_{Δt \to 0} \left(gt + \frac{g}{2}Δt \right)=gt:\]

Նույն ձևով հաշվում են v արագութհունը նաև կետի, ասենք թե՝ ուղղագիծ շարժման ընդհանուր դեպքում։ Կետի դիրքը որոշվում է նրա s հեռավորությամբ, որը հաշվվում է որևէ 0 սկզբնակետից։ Հենց այդ հեռավորությունը կոչվում է կետի անցած ճանապարհ։ t ժամանակը հաշվվում է մի որոշ պահից, ընդ որում, անհրաժեշտ չէ, որ այդ պահին կետը գտնվի 0-ում։ Շարժումը համարվում է լիովին արված, երբ հայտնի է s=f(t) շարժման հավասարումը, որտեղից կարելի է որոշել կետի դիրքը ցանկացած t պահի համար․ դիտարկված օրինակի մեջ այդպիսի դեր խաղաց s=gt2/2 հավասարումը։

Տրված t պահին v արագությունը որոշելու համար հարկ կլիներ, ինչպես վերևում, t-ին տալ Δt աճ, որին կհամապատասխանի s ճանապարհի Δs աճ։ Δs/Δt հարաբերությունը կարտահայտի Δt ժամանակամիջոցում vմիջ միջին արագութհունը։ Իսկ իսկական v արագութհունը t պահին այստեղից կստացվի սահմանային անցման միջոցով՝

\[v=\lim_{Δt \to 0} v_{միջ}=\lim_{Δt \to 0}\frac{Δs}{Δt}:\]

Ստորև հաջորդ դասում մենք կդիտարկենք մի այլ կարևոր խնդիր, որը նույնպես հանգում է նման սահմանային անցման գործողություն։

Free Joomla! templates by AgeThemes