Ածանցյալներ հաշվելու օրինակներ

    Որպես օրինակներ հաշվենք մի շարք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։

    1․ Ամենից առաջ նշենք երկու ակնհայտ արդյունքներ․ եթե y=c=const (հաստատուն թիվ է), ապա Δy=0, ինչպիսին էլ լինի Δx-ը, այնպես որ y'=0: Իսկ եթե y=x, ապա Δy=Δx և y'=1:

    2. Աստիճանային ֆունկցիա՝ y=xμ (որտեղ μ-ն ցանկացած իրական թիվ է)։ x-ի փոփոխման տիրույթը կախված է μ-ից․ այն ցույց է տրված պարզագույն տարրական ֆունկցիաների մասին դասում։ Ունենք (երբ x≠0)`


    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac{(x+Δx)^μ -x^μ}{Δx}=x^{μ-1}\frac{\left( 1+\frac{Δx}{x} \right)^μ -1}{\frac{Δx}{x}}\]

    Եթե օգտվենք սահմանների հաշվման դասի 3-ում հաշված սահմանից, ապա կստանանք՝
    \[y'=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{x}=μx^{μ-1}\]

    Մասնավորապես,
    եթե
    \[y=\frac{1}{x}= x^{-1},\]

    ապա
    \[y'= (-1)x^{-2}=-\frac{1}{x^2},\]

    եթե
    \[y= \sqrt{x}=x^{\frac 12}\]

    ապա
    \[y'= \frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 1{2\sqrt x}:\]

    3․ Ցուցչային ֆունկցիա՝ y=ax (a>0, x-ը կամայական իրական թիվ է)։

    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac{a^{x+Δx}-a^x}{Δx}=a^x \frac{a^{Δx}-1}{Δx}:\]

    Օգտվելով սահմանների հաշվման օրինակների դասից 2-ում հաշված սահմանից, կգտնենք՝
    \[y'= \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}= a^x ln a:\]

    Մասնավորապես, եթե y=ex, ապա y'=ex:

    Ուրեմն, ցուցչային ֆունկցիայի աճման արագությունը (երբ a>1) համեմատական է այդ ֆունկցիայի արժեքին․ որքան ավելի մեծ արժեքի է արդեն հասել ֆունկցիան, այնքան ավելի արագ է նա աճում այդ պահին։ Սա ցուցչային ֆունկցիայի աճման ճշգրիտ բնութագիրն է։

    4․ Լոգարիթմական ֆունկցիա՝ y=logax (0<a և a-ն հավասար չէ մեկի, 0<x<+∞): Այդ դեպքում՝

    \[\frac{Δy}{Δx}= \frac{log_a (x-Δx)-log_a x}{Δx}=\frac 1x \frac{log_a \left( 1+\frac{Δx}{x} \right)}{\frac{Δx}{x}}\]

    Օգտվելով սահմանների հաշվման դասի 1-ում հաշված սահմանից, կստանանք՝
    \[y'= \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\frac{log_a e}{x}:\]

    Մասնավորապես, բնական լոգարիթմի համար կստացվի բացառիկ պարզ արդյունք՝ երբ y=lnx, ունենք՝ y'= 1/x:

    Այս հիմք է հանդիսանում (թեկուզ և, ըստ էության՝ ոչ նոր)՝ տեսական հետազոտությունների ժամանակ բնական լոգարիթմը գերադասել մյուս լոգարիթմներից։

    Այն հանգամանքը, որ լոգարիթմական ֆունկցիայի աճման արագությունը հակադարձ համեմատական է արգումենտի արժեքին (1<a դեպքում) և արգումենտն անվերջ մեծացնելիս նա ձգտում է զրոյի, դրական մնալով, լավ բնութագրում է լոգարիթմական ֆունկցիայի աճը։

    5․ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Դիցուք y=sinx, այդ ժամանակ՝

    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac{sin(x+Δx)-sinx}{Δx}=\frac{sin \frac{Δx}2}{\frac{Δx}2}cos\left( x+\frac{Δx}2 \right):\]

    Օգտվելով cos x ֆունկցիայի անընդհատությունից և sinx /x->1, երբ x->0 հայտնի հատկությունից
    \[\lim_{α \to 0}\frac{sinα}{α}=1\]

    սահմանից, կստանանք՝
    \[y' = \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}= cosx:\]

    Նման ձևով կստանանք՝ եթե y= cosx, ապա y'=-sin x:
    y= tg x ֆունկցիայի համար կունենանք՝
    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac 1{Δx} (tg(x+Δx)- tgx)=\frac 1{Δx}\left( \frac{sin(x+Δx)}{cos(x+Δx)}- \frac{sin x}{cos x} \right)=\]

    \[=\frac{sin(x+Δx)cosx-cos(x+Δx)sin x}{Δx cos x cos(x+Δx)}=\]

    \[=\frac{sinΔx}{Δx} \frac{1}{cos x cos(x+Δx)}\]

    Այստեղից, ինչպես և վերևում՝
    \[y' = \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\frac 1{cos^2 x}= sec^2 x:\]

    Նման եղանակով՝ եթե y=ctg x, ապա
    \[y'=-\frac{1}{sin^2 x}=-csc^2 x:\]

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru