Հոդվածների այցերի քանակը
87399

Ածանցյալներ հաշվելու օրինակներ

Որպես օրինակներ հաշվենք մի շարք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։

1․ Ամենից առաջ նշենք երկու ակնհայտ արդյունքներ․ եթե y=c=const (հաստատուն թիվ է), ապա Δy=0, ինչպիսին էլ լինի Δx-ը, այնպես որ y'=0: Իսկ եթե y=x, ապա Δy=Δx և y'=1:

2. Աստիճանային ֆունկցիա՝ y=xμ (որտեղ μ-ն ցանկացած իրական թիվ է)։ x-ի փոփոխման տիրույթը կախված է μ-ից․ այն ցույց է տրված պարզագույն տարրական ֆունկցիաների մասին դասում։ Ունենք (երբ x≠0)`


\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{(x+Δx)^μ -x^μ}{Δx}=x^{μ-1}\frac{\left( 1+\frac{Δx}{x} \right)^μ -1}{\frac{Δx}{x}}\]

Եթե օգտվենք սահմանների հաշվման դասի 3-ում հաշված սահմանից, ապա կստանանք՝
\[y'=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{x}=μx^{μ-1}\]

Մասնավորապես,
եթե
\[y=\frac{1}{x}= x^{-1},\]

ապա
\[y'= (-1)x^{-2}=-\frac{1}{x^2},\]

եթե
\[y= \sqrt{x}=x^{\frac 12}\]

ապա
\[y'= \frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 1{2\sqrt x}:\]

3․ Ցուցչային ֆունկցիա՝ y=ax (a>0, x-ը կամայական իրական թիվ է)։

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{a^{x+Δx}-a^x}{Δx}=a^x \frac{a^{Δx}-1}{Δx}:\]

Օգտվելով սահմանների հաշվման օրինակների դասից 2-ում հաշված սահմանից, կգտնենք՝
\[y'= \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}= a^x ln a:\]

Մասնավորապես, եթե y=ex, ապա y'=ex:

Ուրեմն, ցուցչային ֆունկցիայի աճման արագությունը (երբ a>1) համեմատական է այդ ֆունկցիայի արժեքին․ որքան ավելի մեծ արժեքի է արդեն հասել ֆունկցիան, այնքան ավելի արագ է նա աճում այդ պահին։ Սա ցուցչային ֆունկցիայի աճման ճշգրիտ բնութագիրն է։

4․ Լոգարիթմական ֆունկցիա՝ y=logax (0<a և a-ն հավասար չէ մեկի, 0<x<+∞): Այդ դեպքում՝

\[\frac{Δy}{Δx}= \frac{log_a (x-Δx)-log_a x}{Δx}=\frac 1x \frac{log_a \left( 1+\frac{Δx}{x} \right)}{\frac{Δx}{x}}\]

Օգտվելով սահմանների հաշվման դասի 1-ում հաշված սահմանից, կստանանք՝
\[y'= \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\frac{log_a e}{x}:\]

Մասնավորապես, բնական լոգարիթմի համար կստացվի բացառիկ պարզ արդյունք՝ երբ y=lnx, ունենք՝ y'= 1/x:

Այս հիմք է հանդիսանում (թեկուզ և, ըստ էության՝ ոչ նոր)՝ տեսական հետազոտությունների ժամանակ բնական լոգարիթմը գերադասել մյուս լոգարիթմներից։

Այն հանգամանքը, որ լոգարիթմական ֆունկցիայի աճման արագությունը հակադարձ համեմատական է արգումենտի արժեքին (1<a դեպքում) և արգումենտն անվերջ մեծացնելիս նա ձգտում է զրոյի, դրական մնալով, լավ բնութագրում է լոգարիթմական ֆունկցիայի աճը։

5․ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Դիցուք y=sinx, այդ ժամանակ՝

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{sin(x+Δx)-sinx}{Δx}=\frac{sin \frac{Δx}2}{\frac{Δx}2}cos\left( x+\frac{Δx}2 \right):\]

Օգտվելով cos x ֆունկցիայի անընդհատությունից և sinx /x->1, երբ x->0 հայտնի հատկությունից
\[\lim_{α \to 0}\frac{sinα}{α}=1\]

սահմանից, կստանանք՝
\[y' = \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}= cosx:\]

Նման ձևով կստանանք՝ եթե y= cosx, ապա y'=-sin x:
y= tg x ֆունկցիայի համար կունենանք՝
\[\frac{Δy}{Δx}=\frac 1{Δx} (tg(x+Δx)- tgx)=\frac 1{Δx}\left( \frac{sin(x+Δx)}{cos(x+Δx)}- \frac{sin x}{cos x} \right)=\]

\[=\frac{sin(x+Δx)cosx-cos(x+Δx)sin x}{Δx cos x cos(x+Δx)}=\]

\[=\frac{sinΔx}{Δx} \frac{1}{cos x cos(x+Δx)}\]

Այստեղից, ինչպես և վերևում՝
\[y' = \lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\frac 1{cos^2 x}= sec^2 x:\]

Նման եղանակով՝ եթե y=ctg x, ապա
\[y'=-\frac{1}{sin^2 x}=-csc^2 x:\]

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019
Free Joomla! templates by AgeThemes