Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը

    Նախքան հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները հաշվելը, ապացուցենք հետևյալ ընդհանուր թեորեման․

    Թեորեմա։ Դիցուք 1) f(x) ֆունկցիան բավարարում է հակադարձ ֆունկցիայի գոյության վերաբերյալ թեորեմայի պայմաններին, 2) y=f(x) ֆունկցիան x=x0 կետում ունի վերջավոր զրոյից տարբեր f'(x0) ածանցյալ։ Այդ դեպքում x=g(y) հակադարձ ֆունկցիայի համար համապատասխան y0=f(x0) կետում նույնպես գոյություն ունի g'(y0) ածանցյալը և հավասար է 1/f'(x0)-ի։

    Ապացուցում։ y=y0 արժեքին տանք Δy կամավոր աճ․ այդ ժամանակ համապատասխան Δx աճ կստանա և x=g(y) ֆունկցիան։ Նկատենք, որ երբ Δy հավասար չէ զրոյի, ապա, y=f(x) ֆունկցիայի միարժեքության շնորհիվ նաև Δx հավասար չէ զրոյի։ Ունենք՝

    \[\frac{Δx}{Δy}=\frac{1}{\frac{Δy}{Δx}}\]

    Այժմ, եթե որևէ օրենքով Δy-ը ձգտի զրոյի, ապա, x=g(y) ֆունկցիայի անընդհատության շնորհիվ նաև Δx աճը կձգտի 0-ի։ Սակայն այդ ժամանակ վերոհիշյալ հավասարության աջ մասի հայտարարը կձգտի f'(x0)≠0 սահմանին, հետևապես գոյություն ունի նաև ձախ մասի համար սահման, որը հավասար է 1/f'(x0) -ի և ներկայացնում է g'(y0) ածանցյալը։

    Այսպիսով, ստացանք հետևյալ պարզ բանաձևը՝

    \[x'_y = \frac{1}{y'_x}\]

    Հեշտ է պարզել վերջինիս երկրաչափական իմաստը։ Մենք գիտենք, որ y'x ածանցյալը y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին տարած շոշափողով և x-երի առանցքով կազմված α անկյան տանգեսն է։ Սակայն, x=g(y) հակադարձ ֆունկցիան նույն գրաֆիկն ունի, միայն թե սրա համար անկախ փոփոխականի արժեքները դրվում են y-ների առանցքի վրա։ Այդ պատճառով, x'y ածանցյալը հավասար է նույն շոշափողով և y-ների առանցքով կազմված β անկյան տանգեսին (գծագիր 34)։ Ուրեմն, ասված բանաձևը հանգում է π/2 գումար ունեցող α ու β երկու անկյունների տանգեսների մրջև եղած հայտնի առնչությանը՝

    \[tgα =\frac 1{tgβ}\]

    գծագիր 34

    Օրինակի համար, ընդունենք y=ax: Սրա հակադարձ ֆունկցիան կլինի x=logay: Քանի որ ըստ նախորդ դասի y'x =axlna, ուստի մեր բանաձևով կստանանք՝

    \[x'_y=\frac 1{y'_x}=\frac 1{a^x lna}= \frac{log_a e}{y}\]

    որը նույնն է, ինչ որ նախորդ դասի 4-ում ստացվածը։

    Այժմ անցնելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները հաշվելուն, հարմարության համար x և y փոփոխականների դերերը փոխենք և ստացված բանաձևը գրենք այսպես՝

    \[y'_x = \frac 1{x'_y}:\]

    6. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Դիտարկենք y= arcsin x ֆունկցիան (1<x<1), ընդ որում՝ -π/2< y <π/2: Այս հանդիսանում է x=siny ֆունկցիայի հակադարձը, որը y-ի նշված արժեքների համար ունի x'y=cosy դրական ածանցյալ։ Այդ դեպքում գոյություն ունի նաև y'x ածանցյալը, որը, ըստ մեր բանաձևի, հավասար է՝

    \[y'_x = \frac{1}{x'_y}= \frac{1}{cos y}= \frac{1}{\sqrt{1-sin^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

    արմատը վերցնում ենք դրական նշանով, որովհետև cos y >0:

    Մենք բացառեցինք x=1 և x=-1 արժեքները, որովհետև համապատասխան y=π/2 և y=-π/2 արժեքների համար ածանցյալը հավասար է զրոյի՝ x'y= cos y =0:

    y=arctg x ֆունկցիան հանդիսանում է x=tgy ֆունկցիայի հակադարձը։ Ըստ մեր բանաձևի, կունենանք՝

    \[y'_x=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{sec^2 y}=\frac{1}{1+tg^2 y}=\frac{1}{1+x^2}:\]

    Նման ձևով կարելի է ստանալ՝

    y=arccos x ֆունկցիայի համար՝

    \[y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

    y=arcctg x ֆունկցիայի համար՝

    \[y'=-\frac{1}{1+x^2}\]

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru