Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

: Administrator; Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները; Դեկտեմբերի 26 2018

Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

Նախորդ դասում մենք հաշվեցինք պարզագույն տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Այստեղ և հաջորդ դասում մենք կստանանք պարզ կանոններ, որոնց օգնությամբ հնարավոր կլինի հաշվել ամեն մի ֆունկցիայի ածանցյալը, որը կազմված է տարրական ֆունկցիաներից՝ վերջավոր թվով թվաբանական գործողությունների և սուպերպոզիցիաների միջոցով։

1․ Դիցուք u=φ(x) ֆունկցիան (մի որոշ x կետում) ունի u' ածանցյալ։ Ապացուցենք, որ y=cu (u=const) ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ (նույն կետում) և հաշվենք այն։
Եթե x անկախ փոփոխականն ստանա Δx աճ, ապա u ֆունկցիան կստանա Δu աճ, սկզբնական u արժեքից անցնելով u+Δu արժեքին։ y ֆունկցիայի նոր արժեքը կլինի y+Δy=c(u+Δu):

Այստեղից Δy=cΔu, և՝

\[\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=c \lim_{Δx \to 0} \frac{Δu}{Δx}=cu':\]

Ուրեմն, ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է

\[y'=(cu)'=c u'\]

Այս բանաձևը արտահայտում է այսպիսի կանոն՝ հաստատուն արտադրիչը կարելի է դուրս բերել ածանցյալի նշանի տակից։

2․ Դիցուք u=φ(x) և v=ψ(x) ֆունկցիաները (մի որոշ կետում) ունեն u' և v' ածանցյալներ։ Ապացուցենք, որ y=u±v ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ, (նույն կետում) և հաշվենք այն։

x-ին տանք Δx աճ․ այդ ժամանակ u, v և y ֆունկցիաները համապատասխանաբար կստանան Δu, Δv և Δy աճեր։ Նրանց u+Δu, v+0v և y+Δy նոր արժեքները կապված կլինեն նույն առնչությամբ՝ y+Δy=(u+Δu)±(v+Δv): Այստեղից՝

\[Δy=Δu±Δv, \quad \frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}±\frac{Δv}{Δx}\]

\[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}±\lim_{Δx \to 0} \frac{Δv}{Δx}=u'±v'\]

այնպես որ y' ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է՝

\[y'=(u±v)'=u'±v':\]

Այս արդյունքը հեշտությամբ կարելի է տարածել ցանկացած թվով գումարելիների վրա (այն էլ՝ նույն մեթոդով)։

3․ u և v ֆունկցիաների նկատմամբ անելով նույն ենթադրությունները, ապացուցենք, որ y=u⋅v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի, և հաշվենք այն։

Ինչպես վերևում ասացինք, Δx աճին կհամապատասխանեն Δu, Δv և Δy աճեր, ընդ որում y+Δy=(u+Δu)(v+Δv), ուստի Δy=Δuv+uΔv+ΔuΔv և

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \frac{Δv}{Δx}+\frac{Δu}{Δx}⋅Δv:\]

Քանի որ Δx-ը զոոյի ձգտելիս, ֆունկցիայի աճի բանաձևի դասում ասվածի շնորհիվ, նաև Δv->0, ուստի

\[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \lim_{Δx \to 0}\frac{Δv}{Δx}=u'v+uv'\]

այսինքն՝ գոյություն ունի y' ածանցյալը և հավասար է՝

\[y'=(uv)'=u'v+v'u:\]

Եթե y=uvw, ընդ որում u', v', w' ածանցյալները գոյություն ունեն, ապա՝

\[((uv)w)'=(uv)'w+(uv)w'=u'vw+uv'w+uvw':\]

Հեշտ է հասկանալ, որ n արտադրիչների դեպքում նման ձևով կստացվի՝

\[(u⋅v⋅w⋅...⋅s)'=u'vw...s+uv'w...s+uvw'...s+...+uvw...s'\]

Այս ապացուցելու համար կարելի է օգտվել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից։

4․ Վերջապես, եթե u և v ֆեւնկցիաները բավարարում են նախորդ ենթադրություններին, բացի այդ, v-ն զրոյից տարբեր է, ապա ապացուցենք, որ u/v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի և հաշվենք այն։

Վերոհիշյալ նշանակումներով, կունենանք՝

\[y+Δy=\frac{u+Δu}{v+Δv}\]

ուստի՝

\[Δy=\frac{Δuv-uΔv}{v(v+Δv)}\]

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{\frac{Δu}{Δx}v-u \frac{Δv}{Δx}}{v(v+Δv)}:\]

Δx-ը ձգտեցնելով զրոյի (ընդ որում միաժամանակ Δv->0), կհամոզվենք, որ գոյություն ունի

\[y'=\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\]

ածանցյալը։

Tags: Ֆիխտենգոլց, Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը, Ֆունկցիա, Ածանցյալ

Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

Նման թեմաներ

Մուտք

Անձնական բաժին

Ամենից շատ կարդացված նյութերը

Դպրոցական էլեկտրոնային դասագրքեր

Տարբերակներ iframe տեգի համար