Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

    Նախորդ դասում մենք հաշվեցինք պարզագույն տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Այստեղ և հաջորդ դասում մենք կստանանք պարզ կանոններ, որոնց օգնությամբ հնարավոր կլինի հաշվել ամեն մի ֆունկցիայի ածանցյալը, որը կազմված է տարրական ֆունկցիաներից՝ վերջավոր թվով թվաբանական գործողությունների և սուպերպոզիցիաների միջոցով։

    1․ Դիցուք u=φ(x) ֆունկցիան (մի որոշ x կետում) ունի u' ածանցյալ։ Ապացուցենք, որ y=cu (u=const) ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ (նույն կետում) և հաշվենք այն։
    Եթե x անկախ փոփոխականն ստանա Δx աճ, ապա u ֆունկցիան կստանա Δu աճ, սկզբնական u արժեքից անցնելով u+Δu արժեքին։ y ֆունկցիայի նոր արժեքը կլինի y+Δy=c(u+Δu):

    Այստեղից Δy=cΔu, և՝

    \[\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=c \lim_{Δx \to 0} \frac{Δu}{Δx}=cu':\]
    Ուրեմն, ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է
    \[y'=(cu)'=c u'\]

    Այս բանաձևը արտահայտում է այսպիսի կանոն՝ հաստատուն արտադրիչը կարելի է դուրս բերել ածանցյալի նշանի տակից։

    2․ Դիցուք u=φ(x) և v=ψ(x) ֆունկցիաները (մի որոշ կետում) ունեն u' և v' ածանցյալներ։ Ապացուցենք, որ y=u±v ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ, (նույն կետում) և հաշվենք այն։

    x-ին տանք Δx աճ․ այդ ժամանակ u, v և y ֆունկցիաները համապատասխանաբար կստանան Δu, Δv և Δy աճեր։ Նրանց u+Δu, v+0v և y+Δy նոր արժեքները կապված կլինեն նույն առնչությամբ՝ y+Δy=(u+Δu)±(v+Δv): Այստեղից՝

    \[Δy=Δu±Δv, \quad \frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}±\frac{Δv}{Δx}\]

    \[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}±\lim_{Δx \to 0} \frac{Δv}{Δx}=u'±v'\]

    այնպես որ y' ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է՝

    \[y'=(u±v)'=u'±v':\]

    Այս արդյունքը հեշտությամբ կարելի է տարածել ցանկացած թվով գումարելիների վրա (այն էլ՝ նույն մեթոդով)։

    3․ u և v ֆունկցիաների նկատմամբ անելով նույն ենթադրությունները, ապացուցենք, որ y=u⋅v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի, և հաշվենք այն։

    Ինչպես վերևում ասացինք, Δx աճին կհամապատասխանեն Δu, Δv և Δy աճեր, ընդ որում y+Δy=(u+Δu)(v+Δv), ուստի Δy=Δuv+uΔv+ΔuΔv և

    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \frac{Δv}{Δx}+\frac{Δu}{Δx}⋅Δv:\]

    Քանի որ Δx-ը զոոյի ձգտելիս, ֆունկցիայի աճի բանաձևի դասում ասվածի շնորհիվ, նաև Δv->0, ուստի

    \[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \lim_{Δx \to 0}\frac{Δv}{Δx}=u'v+uv'\]

    այսինքն՝ գոյություն ունի y' ածանցյալը և հավասար է՝

    \[y'=(uv)'=u'v+v'u:\]

    Եթե y=uvw, ընդ որում u', v', w' ածանցյալները գոյություն ունեն, ապա՝

    \[((uv)w)'=(uv)'w+(uv)w'=u'vw+uv'w+uvw':\]

    Հեշտ է հասկանալ, որ n արտադրիչների դեպքում նման ձևով կստացվի՝

    \[(u⋅v⋅w⋅...⋅s)'=u'vw...s+uv'w...s+uvw'...s+...+uvw...s'\]

    Այս ապացուցելու համար կարելի է օգտվել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից։

    4․ Վերջապես, եթե u և v ֆեւնկցիաները բավարարում են նախորդ ենթադրություններին, բացի այդ, v-ն զրոյից տարբեր է, ապա ապացուցենք, որ u/v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի և հաշվենք այն։

    Վերոհիշյալ նշանակումներով, կունենանք՝

    \[y+Δy=\frac{u+Δu}{v+Δv}\]

    ուստի՝

    \[Δy=\frac{Δuv-uΔv}{v(v+Δv)}\]

    և
    \[\frac{Δy}{Δx}=\frac{\frac{Δu}{Δx}v-u \frac{Δv}{Δx}}{v(v+Δv)}:\]

    Δx-ը ձգտեցնելով զրոյի (ընդ որում միաժամանակ Δv->0), կհամոզվենք, որ գոյություն ունի
    \[y'=\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\]

    ածանցյալը։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru