Նախորդ դասում մենք հաշվեցինք պարզագույն տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Այստեղ և հաջորդ դասում մենք կստանանք պարզ կանոններ, որոնց օգնությամբ հնարավոր կլինի հաշվել ամեն մի ֆունկցիայի ածանցյալը, որը կազմված է տարրական ֆունկցիաներից՝ վերջավոր թվով թվաբանական գործողությունների և սուպերպոզիցիաների միջոցով։
1․ Դիցուք u=φ(x) ֆունկցիան (մի որոշ x կետում) ունի u' ածանցյալ։ Ապացուցենք, որ y=cu (u=const) ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ (նույն կետում) և հաշվենք այն։
Եթե x անկախ փոփոխականն ստանա Δx աճ, ապա u ֆունկցիան կստանա Δu աճ, սկզբնական u արժեքից անցնելով u+Δu արժեքին։ y ֆունկցիայի նոր արժեքը կլինի y+Δy=c(u+Δu):
Այստեղից Δy=cΔu, և՝
Այս բանաձևը արտահայտում է այսպիսի կանոն՝ հաստատուն արտադրիչը կարելի է դուրս բերել ածանցյալի նշանի տակից։
2․ Դիցուք u=φ(x) և v=ψ(x) ֆունկցիաները (մի որոշ կետում) ունեն u' և v' ածանցյալներ։ Ապացուցենք, որ y=u±v ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ, (նույն կետում) և հաշվենք այն։
x-ին տանք Δx աճ․ այդ ժամանակ u, v և y ֆունկցիաները համապատասխանաբար կստանան Δu, Δv և Δy աճեր։ Նրանց u+Δu, v+0v և y+Δy նոր արժեքները կապված կլինեն նույն առնչությամբ՝ y+Δy=(u+Δu)±(v+Δv): Այստեղից՝
այնպես որ y' ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է՝
Այս արդյունքը հեշտությամբ կարելի է տարածել ցանկացած թվով գումարելիների վրա (այն էլ՝ նույն մեթոդով)։
3․ u և v ֆունկցիաների նկատմամբ անելով նույն ենթադրությունները, ապացուցենք, որ y=u⋅v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի, և հաշվենք այն։
Ինչպես վերևում ասացինք, Δx աճին կհամապատասխանեն Δu, Δv և Δy աճեր, ընդ որում y+Δy=(u+Δu)(v+Δv), ուստի Δy=Δuv+uΔv+ΔuΔv և
Քանի որ Δx-ը զոոյի ձգտելիս, ֆունկցիայի աճի բանաձևի դասում ասվածի շնորհիվ, նաև Δv->0, ուստի
այսինքն՝ գոյություն ունի y' ածանցյալը և հավասար է՝
Եթե y=uvw, ընդ որում u', v', w' ածանցյալները գոյություն ունեն, ապա՝
Հեշտ է հասկանալ, որ n արտադրիչների դեպքում նման ձևով կստացվի՝
Այս ապացուցելու համար կարելի է օգտվել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից։
4․ Վերջապես, եթե u և v ֆեւնկցիաները բավարարում են նախորդ ենթադրություններին, բացի այդ, v-ն զրոյից տարբեր է, ապա ապացուցենք, որ u/v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի և հաշվենք այն։
Վերոհիշյալ նշանակումներով, կունենանք՝
ուստի՝
և
Δx-ը ձգտեցնելով զրոյի (ընդ որում միաժամանակ Δv->0), կհամոզվենք, որ գոյություն ունի
ածանցյալը։