Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

: Administrator; Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները; Դեկտեմբերի 26 2018

Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

Նախորդ դասում մենք հաշվեցինք պարզագույն տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Այստեղ և հաջորդ դասում մենք կստանանք պարզ կանոններ, որոնց օգնությամբ հնարավոր կլինի հաշվել ամեն մի ֆունկցիայի ածանցյալը, որը կազմված է տարրական ֆունկցիաներից՝ վերջավոր թվով թվաբանական գործողությունների և սուպերպոզիցիաների միջոցով։

1․ Դիցուք u=φ(x) ֆունկցիան (մի որոշ x կետում) ունի u' ածանցյալ։ Ապացուցենք, որ y=cu (u=const) ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ (նույն կետում) և հաշվենք այն։
Եթե x անկախ փոփոխականն ստանա Δx աճ, ապա u ֆունկցիան կստանա Δu աճ, սկզբնական u արժեքից անցնելով u+Δu արժեքին։ y ֆունկցիայի նոր արժեքը կլինի y+Δy=c(u+Δu):

Այստեղից Δy=cΔu, և՝

\[\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=c \lim_{Δx \to 0} \frac{Δu}{Δx}=cu':\]

Ուրեմն, ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է

\[y'=(cu)'=c u'\]

Այս բանաձևը արտահայտում է այսպիսի կանոն՝ հաստատուն արտադրիչը կարելի է դուրս բերել ածանցյալի նշանի տակից։

2․ Դիցուք u=φ(x) և v=ψ(x) ֆունկցիաները (մի որոշ կետում) ունեն u' և v' ածանցյալներ։ Ապացուցենք, որ y=u±v ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ, (նույն կետում) և հաշվենք այն։

x-ին տանք Δx աճ․ այդ ժամանակ u, v և y ֆունկցիաները համապատասխանաբար կստանան Δu, Δv և Δy աճեր։ Նրանց u+Δu, v+0v և y+Δy նոր արժեքները կապված կլինեն նույն առնչությամբ՝ y+Δy=(u+Δu)±(v+Δv): Այստեղից՝

\[Δy=Δu±Δv, \quad \frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}±\frac{Δv}{Δx}\]

\[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}±\lim_{Δx \to 0} \frac{Δv}{Δx}=u'±v'\]

այնպես որ y' ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է՝

\[y'=(u±v)'=u'±v':\]

Այս արդյունքը հեշտությամբ կարելի է տարածել ցանկացած թվով գումարելիների վրա (այն էլ՝ նույն մեթոդով)։

3․ u և v ֆունկցիաների նկատմամբ անելով նույն ենթադրությունները, ապացուցենք, որ y=u⋅v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի, և հաշվենք այն։

Ինչպես վերևում ասացինք, Δx աճին կհամապատասխանեն Δu, Δv և Δy աճեր, ընդ որում y+Δy=(u+Δu)(v+Δv), ուստի Δy=Δuv+uΔv+ΔuΔv և

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \frac{Δv}{Δx}+\frac{Δu}{Δx}⋅Δv:\]

Քանի որ Δx-ը զոոյի ձգտելիս, ֆունկցիայի աճի բանաձևի դասում ասվածի շնորհիվ, նաև Δv->0, ուստի

\[\lim_{Δx \to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{Δu}{Δx}⋅v+u⋅ \lim_{Δx \to 0}\frac{Δv}{Δx}=u'v+uv'\]

այսինքն՝ գոյություն ունի y' ածանցյալը և հավասար է՝

\[y'=(uv)'=u'v+v'u:\]

Եթե y=uvw, ընդ որում u', v', w' ածանցյալները գոյություն ունեն, ապա՝

\[((uv)w)'=(uv)'w+(uv)w'=u'vw+uv'w+uvw':\]

Հեշտ է հասկանալ, որ n արտադրիչների դեպքում նման ձևով կստացվի՝

\[(u⋅v⋅w⋅...⋅s)'=u'vw...s+uv'w...s+uvw'...s+...+uvw...s'\]

Այս ապացուցելու համար կարելի է օգտվել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդից։

4․ Վերջապես, եթե u և v ֆեւնկցիաները բավարարում են նախորդ ենթադրություններին, բացի այդ, v-ն զրոյից տարբեր է, ապա ապացուցենք, որ u/v ֆունկցիան նույնպես ածանցյալ ունի և հաշվենք այն։

Վերոհիշյալ նշանակումներով, կունենանք՝

\[y+Δy=\frac{u+Δu}{v+Δv}\]

ուստի՝

\[Δy=\frac{Δuv-uΔv}{v(v+Δv)}\]

\[\frac{Δy}{Δx}=\frac{\frac{Δu}{Δx}v-u \frac{Δv}{Δx}}{v(v+Δv)}:\]

Δx-ը ձգտեցնելով զրոյի (ընդ որում միաժամանակ Δv->0), կհամոզվենք, որ գոյություն ունի

\[y'=\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\]

ածանցյալը։

Tags: Ֆիխտենգոլց, Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը, Ֆունկցիա, Ածանցյալ

Ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնները

Նման թեմաներ

Պատահական հարցում

Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

Մուտք

Անձնական բաժին

Ամենից շատ կարդացված նյութերը

Դպրոցական էլեկտրոնային դասագրքեր

Տարբերակներ iframe տեգի համար