Իրական թվերի բազմության անընդհատությունը

    Այժմ զբաղվենք բոլոր իրական թվերի բազմության մի շատ կարևոր հատկությամբ, որն այն էապես տարբերվում է ռացիոնալ թվերի բազմությունից։ Դիտարկելով հատույթները ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ, մենք տեսանք, որ երբեմն այդպիսի հատույթների համար այդ բազմության մեջ չկա սահմանազատիչ թիվ, որի մասին կարելի լիներ ասել, թե նա առաջացնում է այդ հատույթը։ Ռացիոնալ թվերի բազմության հենց այդ ոչ լրիվությունը, նրա մեջ հենց այդ բաց տեղերի առկայությունն է հիմք ծառայել նոր՝ իռացիոնալ թվերի մուծման համար։ Այժմ սկսենք դիտարկել հատույթներ բոլոր իրական թվերի բազմության մեջ։ Այդպիսի հատույթ ասելով մենք հասկանում ենք այդ բազմության տրոհումը A և A' երկու ոչ դատարկ բազմությունների, որի ժամանակ՝

    1․ յուրաքանչյուր իրական թիվ ընկնում է A և A' բազմություններից մեկի և միայն մեկի մեջ և, բացի դրանից՝

    2․ A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փաքր է A' բազմության յուրաքանչյուր a' թվից։

    Հարց է ծագում՝ այդպիսի A|A' հատույթի համար արդյոք մի՞շտ կգտնվի այդ հատույթն առաջացնող սահմանազատիչ թիվ (իրական թվերի բազմության մեջ), թե՞ իրական թվերի բազմության մեջ ևս կան դատարկ տեղեր (որոնք կարողանային հիմք ծառայել էլի ներ թվերի մուծման համար):

    Պարզվում է, որ իրականում այդպիսի դատարկ տեղեր այլևս չկան։

    Հիմնական թեորեմ (Դեդեկենդի թեորեմ): Իրական թվերի բազմության մեջ ամեն մի A|A' հատույթի համար գոյություն ունի այդ հատույթն առաջացնող մի b իրական թիվ։ այդ b թիվը կլինի՝ 1) կամ ամենամեծը A ստորին դասի մեջ (այդ ժամանակ A'  վերին դասում չկա ամենափոքրը),  2) կամ ամենափոքրը A' վերին դասի մեջ (այդ դեպքում A ստորին դասում չկա ամենամեծը)։

    Իրական թվերի բազմության այս հատկությունն անվանում են այդ բազմության լրիվություն, ինչպես նաև անընդհատություն (կամ անընդմեջություն)։

    Ապացույց։ A դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակենք A - ով, իսկ A' դասին պատկանող բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը՝ A' -ով։ Հեշտ է համոզվել, որ A և A' բազմությունները կազմում են հատույթ բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ։

    Այդ A|A' հատույթը որոշում է մի b իրական թիվ։ Նա պետք է ընկնի A և A' դասերից մեկի մեջ, ենթադրենք, օրինակ, թե b-ն ընկնում է A ստորին դասի մեջ և ապացուցենք, որ այն ժամանակ իրականանում է 1) դեպքը, այսինքն՝ b -ն A դասի մեջ ամենամեծն է։ Իսկապես, եթե այդպես չլիներ, ապա այդ դասի մեջ կգտնվեր մի այլ a0 թիվ, որը մեծ կլիներ b-ից։ a0 և b իրական թվերի միջև տեղադրենք (հիմնվելով 1-ին լեմմայի վրա) մի r ռացիոնալ թիվ՝

    a0>r>b

    r-ը ևս կպատկանի A դասին, և, հետևաբար, նրա մասը կազմող A դասին։ Հանգեցնենք հակասության․ b թիվը որոշող հատույթի ստորին դասին պատկանող r ռացիոնալ թիվը մեծ ստացվեց այդ b թվից։ Այսպիսով ապացուցվում է մեր պնդումն այն մասին, որ b-ն A դասի մեջ ամենամեծն է։

    Նման դատողությունը ցույց է տալիս, որ եթե b -ն ընկնի A' վերին դասի մեջ, ապա կիրականանա երկրորդ դեպքը։

    A դասում ամենամեծ և A' դասում ամենափոքր թվերի միառժամանակյա գոյությունը անհնար է․ այդ ցույց է տրվում այնպես, ինչպես ռացիոնալ թվերի բազմության համար (1-ին լեմմայի օգնությամբ

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru