Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Դիֆերենցիալի և ածանցյալի գոյության կապը

Այժմ հեշտ է ցույց տալ հետևյալ առաջադրության իրավացիությունը

Որպեսզի y=f(x) ֆունկցիան x0 կետում դիֆերենցելի լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա համար այդ կետում գոյություն ունենա y'=f'(x0) վերջավոր ածանցյալ։ Այդ պայմանի բավարարման դեպքում Δy=A⋅Δx+o(Δx) հավասարությանը տեղի ունի A հաստատունի այն արժեքի համար, որը հավասար է հենց այդ ածանցյալին՝


\[Δy=y'_x ⋅Δx+o(Δx):\]

Անհրաժեշտությունը։ Եթե տեղի ունի Δy=A⋅Δx+o(Δx) հավասարությունը, ապա այդտեղից կստացվի՝
\[\frac{Δy}{Δx}=A+ \frac{o(Δx)}{Δx}\]

ուստի, Δx-ը ձգտեցնելով 0-ի, իրոք կստանանք՝
\[A=\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=y'_x:\]

Բավարարությունն անմիջապես բխում է այս դասի ստացված առաջին արդյունքից։

Ուրեմն, y=f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը միշտ հավասար է՝

\[dy=y'_x ⋅Δx\]

Այստեղ ևեթ ընդգծենք, որ այս արտահայտության մեջ Δx-ի տակ հասկանում ենք անկախ փոփոխականի կամայական աճ, այսինքն՝ կամայական թիվ, (որը հաճախ հարմար է լինում համարել x-ից անկախ)։ Ընդ որում բոլորովին էլ անհրաժեշտ չէ Δx-ը համարել անվերջ փոքր․ սակայն, եթե Δx->0, ապա dy դիֆերենցիալը նույնպես կլինի անվերջ փոքր, և կլինի (երբ այդ x կետում ածանցյալը զրո չէ) հենց ֆունկցիայի Δy անվերջ փոքր աճի գլխավոր մասը։ Հենց այս էլ հիմք է ծառայում մոտավորապես ընդունել՝
\[Δy≈dy\]

այնքան ավելի մեծ ճշգրտությամբ, որքան ավելի փոքր է Δx-ը։ Δy≈dy մոտավոր հավասարության դիտարկմանը մենք կանրադառնանք հետագայում։

y=f(x) ֆունկցիայի dy դիֆերենցիալը և նրա կապը Δy աճի հետ երկրաչափորեն մեկնաբանելու համար, դիտարկենք այդ ֆունկցիայի գրաֆիկը (գծագիր 37)։ Արգումենտի x և օրդինատի y արժեքներով կորի վրա կորոշվի M կետը։ Կորի այդ կետում տանենք MT շոշափողը․ ինչպես մենք արդեն տեսել ենք, նրա tgα անկյունային գործակիցը հավասար է y'x ածանցյալին։ Եթե x աբսցիսին տանք Δx աճ, ապա կորի y օրդինատը կստանա Δy=NM1 աճ։ Միաժամանակ շոշափողի օրդինատը կստանա NK աճ։ Հաշվելով NK հատվածը, որպես MNK ուղղանկյուն եռանկյան էջ, կստանանք՝

NK=MN⋅tgα=y'x⋅Δx=dy:

Այսպիսով, այն ժամանակ, երբ Δy-ը կորի օրդինատի աճն է, dy-ը հանդիսանում է շոշափողի օրդինատի համապատասխան աճը։

Վերջում կանգ առնենք հենց իր՝ x անկախ փոփոխականի վրա․ նրա դիֆերենցիալ անվանում ենք հենց Δx աճը, այսինքն՝ պայմանավորվում են ընդունել dx=Δx:

Եթե x անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը նույնացնենք y=x ֆունկցիայի դիֆերենցիալի հետ (այստեղ էլ յուրատեսակ պայմանավորում է), ապա dx=Δx բանաձևը կարելի է ապացուցել, ելնելով dx=f'(x)Δx=x'Δx=Δx:

Հաշվի առնելով dx=Δx-ը, այժմ կարելի է դիֆերենցիալի սահմանումը տվող բանաձևը գրել այսպես՝

dy=y'xdx,

սովորաբար հենց այսպես էլ գրում են։

Այստեղից ստացվում է՝

\[y'_x=\frac{dy}{dx},\]

ուստի՝ այն արտահայտությունը, որը մենք առաջ դիտում էինք որպես ամբողջական սիմվոլ, այժմ կարելի է մեկնաբանել որպես կոտորակ։ Այն հանգամանքը, որ վերոհիշյալ արտահայտության մեջ ձախ մասում գտնվում է միանգամայն որոշակի թիվ, այնինչ աջ մասում ունենք երկու անորոշ dy և dx թվերի հարաբերություն (չէ որ dx=Δx մեծությունը կամայական է), ընթերցողին չպետք է անհանգստացնի․ dx և dy մեծությունները փոփոխվում են համեմատականորեն, ընդ որում y'x ածանցյալը հենց հանդիսանում է համեմատականության գործակիցը։

Free Joomla! templates by AgeThemes