Բարձր կարգի ածանցյալների սահմանումը

    Եթե y=f(x) ֆունկցիան ունի y'=f'(x) վերջավոր ածանցյալ մի X միջակայքում, այնպես որ այդ ածանցյալն ինքը ներկայացնում է x-ի ֆունկցիա, ապա կարող է պատահել, որ այդ ֆունկցիան իր հերթին X-ի մի x0 կետում ունենա ածանցյալ, վերջավոր կամ ոչ։ Այդ ածանցյալն անվանում են y=f(x) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ կամ երկրորդ ածանցյալ վերոհիշյալ x0 կետում, և նշանակում են հետևյալ սիմվոլներից մեկով՝

    \[\frac{d^2y}{dx^2}, y'',D^2y, \frac{d^2f(x_0)}{dx^2}, f''(x_0), D^2f(x_0):\]

    Այսպես, օրինակ, ածանցյալի սահմանման դասում մենք տեսանք, որ կետի շարժման արագությունը հավասար է կետի անցած s ճանապարհի ածանցյալին ըստ t ժամանակի՝ v=ds/dt, իսկ a արագացումը՝ v արագության ածանցյալն է ըստ ժամանակի՝ a=dv/dt: Նշանակում է, արագացումը հանդիսանում է ճանապարհի երկրորդ կարգի ածանցյալն ըստ ժամանակի՝

    \[a=\frac{d^2s}{dt^2}:\]

    Նույն ձևով, եթե y=f(x) ֆունկցիան ունի երկրորդ կարգի վերջավոր ածանցյալ ամբողջ X միջակայքում (այսինքն՝ այդ միջակայքի յուրաքանչյուր կետում), ապա սրա ածանցյալը, վերջավոր կամ ոչ, X-ի որևէ x0 կետում կոչվում է y=f(x) ֆունկցիայի երրորդ կարգի ածանցյալ կար երրորդ ածանցյալ այդ կետում, և նշանակվում է այսպես՝

    \[\frac{d^3y}{dx^3}, y''', D^3y, \frac{d^3f(x_0)}{dx^3}, f'''(x_0), D^3f(x_0):\]

    Նույն եղանակով, երրորդ կարգի ածանցյալից անցնում են չորրորդ կարգի ածանցյալին և այլն։ Եթե ընդունենք, որ (n-1)-րդ կարգի ածանցյալի գաղափարն արդեն սահմանված է և որ (n-1)-րդ կարգի ածանցյալն X միջակայքում գոյություն ունի և վերջավոր է, ապա նրա ածանցյալը այդ միջակայքի որևէ x0 կետում կոչվում է տրված y=f(x) ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալ կամ n-րդ ածանցյալ։ Վերջինիս նշանակման համար օգտագործում են հետևյալ պայմանանշանները (սիմվոլները)՝

    \[\frac{d^ny}{dx^n}, y^{(n)}, D^ny, \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}, f^{(n)}(x_0), D^nf(x_0):\]

    Երբեմն, Լագրանժի և Կոշիի նշանակումներից օգտվելիս, կարող է անհրաժեշտ լինել ցույց տալ այն փոփոխականը, ըստ որի վերցրած է ածանցյալը․ այդ դեպքում այդ փոփոխականը որպես նշանիկ գրվում է սիմվոլների ներքևի ծայրիկի մոտ՝

    \[y^{''}_{x^2}, D^3_{x^3}f(x), f^{(n)}_{x^n}(x_0),\]

    և այլն, ընդ որում x2, x3, … արտահայտությունը xx, xxx, … գրության ձևերի պայմանական կրճատ ձևեր են։ Օրինակ, կարելի է գրել՝ a=s2'':

    (Ընթերցողի համար պարզ է, որ այստեղ ևս

    \[\frac{d^nf}{dx^n}, f^{(n)} կամ f^{(n)}_{x^n}, D^nf կամ D^n_{x^n}f\]

    ամբողջական սիմվոլները կարելի է դիտել որպես ֆունկցիոնալ նշանակումներ):

    Այսպիսով, մենք սահմանեցինք n-րդ կարգի ածանցյալը, այսպես ասած, ինդուկտիվ եղանակով, հերթականությամբ առաջին կարգի ածանցյալից հաջորդին անցնելով։ n-րդ կարգի ածանցյալը որոշող

    \[y^{(n)}=(y^{(n-1)})'\]

    առնչությունը անվանում են նաև «անդրադարձ» (կամ «ռեկուրենտ») առնչություն, որքանով որ նրա n-րդ ածանցյալից «վերադարձնում է» (n-1)-րդին։
    n-րդ կարգի ածանցյալի հաշվումը, երբ տրված է n թիվը, կատարվում է ընթերցողին արդեն հայտնի կանոններով ու բանաձևերով։ Օրինակ՝ եթե
    \[y=\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{6}x^3+2x^2+\frac{4}{3}x-\frac{1}{2},\]

    ապա
    \[y'=2x^3 - \frac{1}{2}x^2+4x+\frac{4}{3}\]

    \[y''=6x^2-x+4\]

    \[y'''=12x-1\]

    \[y^{IV}=12\]

    Նկատենք, որ բարձր կարգի ածանցյալների համար նույնպես, ինդուկտիվ եղանակով, կարելի է սահմանել միակողմյան ածանցյալի գաղափարը։ Եթե y=f(x) ֆունկցիան որոշված է միայն X միջակայքում, ապա խոսելով որևէ կարգի ածանցյալի մասին այդ միջակայքի ծայրակետում, միշտ ի նկատի ունեն հենց միակողմյան ածանցյալը։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru