Ընդհանուր բանաձևեր ցանկացած կարգի ածանցյալների համար

    Ինչպես տեսանք, որպեսզի հաշվենք որևէ ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալը, ընդհանրապես ասած, պետք է նախապես հաշվել բոլոր նախորդ կարգի ածանցյալները։ Սակայն մի շարք դեպքերում հնարավոր է լինում n-րդ կարգի ածանցյալի համար ստանալ այնպիսի ընդհանուր արտահայտություն, որն անմիջապես կախված է n-ից ու այլևս չի պարունակում նախորդ ածանցյալների նշանակումները։

    Այդպիսի ընդհանուր արտահայտություններ արտածելիս երբեմն օգտակար են լինում հետևյալ բանաձևերը՝

    \[{(c⋅u)}^{(n)}=c⋅u^{(n)} \quad {(u±v)}^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}\]

    որոնք ածանցյալ հաշվելու պարզագույն կանոնների ընթերցողին հայտնի I և II կանոններն են ընդհանրացված բարձր կարգի ածանցյալների համար։ Դրանք հեշտ է ստանալ այդ կանոնների հաջորդաբար կիրառման միջոցով։

    1) Նախ դիտարկենք y=xμ աստիճանային ֆունկցիան, որտեղ μ-ն որևէ իրական թիվ է։ Հաջորդաբար կունենանք՝

    \[y'=μx^{μ-1}, \quad y''=μ(μ-1)x^{μ-2}\]

    \[y'''=μ(μ-1)(μ-2)x^{μ-3}, ...\]

    Այստեղից հեշտ է նկատել նաև ընդհանուր օրենք՝

    \[y^{(n)}=μ(μ-1)...(μ-n+1)x^{μ-n}\]

    որն ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։ Եթե, օրինակ, վերցնենք μ=-1 կստանանք

    \[\left( \frac{1}{x} \right)^{(n)}=(-1)(-2)...(-n)x^{-1-n}=\frac{(-1)^n⋅n!}{x^{n+1}}:\]

    երբ μ-ն ինքը բնական m թիվ է, ապա xm-ի m-րդ կարգի ածանցյալն արդեն կլինի m! հաստատուն թիվը, իսկ բոլոր հաջորդները՝ զրոներ։ Այստեղից պարզ է, որ m դրական ամբողջ աստիճանի բազմանդամի համար էլ գոյություն ունի նման հանգամանք։

    2) Դիցուք այժմ y=ln x: Ամենից առաջ ունենք՝

    \[y'=(ln x)'=\frac{1}{x}\]

    Սրա երկու մասից վերցնենք (n-1)-րդ կարգի ածանցյալ 1) օրինակի համապատասխան բանաձևի օգնությամբ, վերջինիս մեջ n-ը փոխարինելով (n-1)-ով, կստանանք՝

    \[y^{(n)}=(y')^{(n-1)}=\left( \frac{1}{x}\right)^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}:\]

    3) եթե y=ax, ապա՝

    \[y'=a^x⋅ln a, \quad y''=a^x(ln a)^2, ...\]

    իսկ ընդհանուր բանաձևը՝
    \[y^{(n)}=a^x⋅(ln a)^n\]

    հեշտությամբ ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

    Մասնավոր դեպքում, ակներևաբար՝

    \[(e^x)^{(n)}=e^x:\]

    4) Ընդունենք y=sin x. այդ ժամանակ՝

    \[y'=cos x, \quad y''=-sin x, y'''=-cos x, y''''=sin x, y^{(5)}=cos x, ...\]

    Այս ճանապարհով n-րդ կարգի ածանցյալի համար ընդհանուր արտահայտություն գտնելը դժվար է։ Սակայն գործն անմիջապես հեշտանում է, եթե առաջին կարգի ածանցյալի համար ատացված բանաձևը գրենք y'=sin(x+π/2) տեսքով․ պարզվում է, որ ամեն մի ածանցումից հետո արգումենտին կգումարվի π/2, ուստի՝

    \[(sin x)^{(n)}=sin\left( x+n⋅ \frac{π}{2}\right)\]

    5) Կանգ առնենք նաև y=arctg x ֆունկցիայի վրա։ Նախ y(n)-ը արտահայտենք y-ի միջոցով։ x=tg y, ուստի՝

    \[y'=\frac{1}{1+x^2}=cos^2y=cosy⋅sin\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

    Երկրորդ անգամ ածանցելով ըստ x-ի (և հիշելով, որ y-ը x-ի ֆունկցիա է), կստանանք՝

    \[y''=\left( -sin y⋅sin \left( y+\frac{π}{2} \right) + cos y⋅cos \left( y+\frac{π}{2} \right) \right) ⋅y'=\]

    \[=cos^2y⋅cos\left( 2y+\frac{π}{2}\right)=cos^2y⋅sin2\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

    Հաջորդ ածանցումը կտա՝

    \[y'''=\left( -2sin y⋅cos y⋅sin2\left( y+\frac{π}{2}\right)+2cos^2y⋅cos2\left( y+\frac{π}{2}\right) \right)⋅y'=\]

    \[=2cos^3y⋅cos\left( 3y+2⋅\frac{π}{2}\right)=\]

    \[=2cos^3y⋅sin3\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

    Վերջապես,

    \[y^{(n)}=(n-1)! \cos ^ny⋅\sin n\left( y+\frac{π}{2}\right):\]

    ընդհանուր բանաձևը հիմնավորվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

    Պատահական հարցում

    Կո՞ղմ եք արդյոք, որ Ռոբերտ Քոչարյանը դատապարտվի

      • Այո, օրենքի առջև բոլորը հավասար են
      • Ոչ, նա Արցախի հերոս է
    No answer selected. Please try again.
    Please select either existing option or enter your own, however not both.
    Please select minimum 0 answer(s) and maximum 2 answer(s).
    /index.php/component/communitypolls/?task=poll.vote
    1
    radio
    [{"id":"1","title":"\u0531\u0575\u0578, \u0585\u0580\u0565\u0576\u0584\u056b \u0561\u057c\u057b\u0587 \u0562\u0578\u056c\u0578\u0580\u0568 \u0570\u0561\u057e\u0561\u057d\u0561\u0580 \u0565\u0576","votes":"1","type":"x","order":"1","pct":25,"resources":[{"type":"image","option_id":"1","value":"h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/h57op2qv101jp4mh4k47q1pw3.jpeg"}]},{"id":"2","title":"\u0548\u0579, \u0576\u0561 \u0531\u0580\u0581\u0561\u056d\u056b \u0570\u0565\u0580\u0578\u057d \u0567","votes":"3","type":"x","order":"2","pct":75,"resources":[{"type":"image","option_id":"2","value":"c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg","src":"https:\/\/www.alphazero.ru\/media\/communitypolls\/images\/c6yeudrzpy4w7bmwnvzgafvmc.jpg"}]}] ["#ff5b00","#4ac0f2","#b80028","#eef66c","#60bb22","#b96a9a","#62c2cc"] ["rgba(255,91,0,0.7)","rgba(74,192,242,0.7)","rgba(184,0,40,0.7)","rgba(238,246,108,0.7)","rgba(96,187,34,0.7)","rgba(185,106,154,0.7)","rgba(98,194,204,0.7)"] 350
    bottom 200
    2019 www.alphazero.ru