Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Լայբնիցի բանաձևը

Ինչպես մենք արդեն նշել ենք նախորդ դասի սկզբումI և II կանոնները (ածանցման (cy)'=cy', (f+g)'=f'+g' կանոնները) անմիջականորեն տարածվում են նաև ցանկացած կարգի ածանցյալների դեպքի վրա։ Ավելի բարդ է III կանոնի (արտադրյալի ածանցման) հարցը, որը վերաբերվում է արտադրյալի ածանցմանը։

Ենթադրենք x-ից կախված u և v ֆունկցիաներն առանձին-առանձին ունեն մինչև n-րդ (ներառյալ) կարգի ածանցյալներ։ Ապացուցենք, որ այդ դեպքում նրանց y=uv արտադրյալը նույնպես կունենա n-րդ կարգի ածանցյալ և գտնենք նրա արտահայտությունը։

Կիրառելով III կանոնը (արտադրյալի ածանցման կանոնը), սկսենք հաջորդաբար ածանցել այդ արտադրյալը․ կգտնենք՝

y'=u'v+v'u, y''=u''v+u'v'+uv'',

y'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv''', …

Հեշտ է տեսնել այն օրենքը, որով կազմված են բոլոր այս բանաձևերը․ նրանց աջ մասերը հիշեցնում են ա u+v, (u+v)2, (u+v)3, … երկանդամների բանաձևերը, միայն թե u-ի և v-ի աստիճանների փոխարեն գրված են նրանց համապատասխան կարգի ածանցյալները։ Նմանությունն ավելի լրիվ կդառնա, եթե ստացված բանաձևերի մեջ u-ի և v-ի փոխարեն գրենք u(0) և v(0): Այս օրենքը տարածելով ցանկացած n-ի դեպքի վրա, կստանանք ընդհանուր բանաձև

 

\[y^{(n)}=(uv)^{(n)}=\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i)}v^{(i)}=\]

\[=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{1⋅2}u^{(n-2)}v''+...\]

\[ ... + \frac{n(n-1)...(n-i+1)}{1⋅2⋅...⋅i} u^{(n-i)} v^{(i)}+...+uv^{(n)}:\]

Սրա իրավացիությունն ապացուցելու համար դարձյալ դիմենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդին։ Ընդունենք, որ n-ի մի որոշ արժեքի համար վերոհիշյալ բանաձևը ճիշտ է։ Եթե u և v ֆունկցիաների համար գոյություն ունեն նաև (n+1)-րդ ածանցյալները, ապա կարելի է այդ բանաձևը մեկ անգամ ևս ածանցել ըստ x-ի, կստանանք՝

\[y^{(n+1)}=\sum_{i=0}^n \left[ u^{(n-i)}v^{(i)}\right] '=\]

\[=\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i+1)}+\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i)}v^{i+1}:\]

Այժմ վերջին երկու գումարների մեջ միացնենք այն գումարելիները, որոնք իրենց մեջ պարունակում են u և v ֆունկցիաների ածանցյալների միատեսակ արտադրյալներ (այդպիսի արտադրյալների մեջ, ինչպես հեշտ է տեսնել, ածանցյալների կարգերի գումարը միշտ հավասար է n+1): u(n+1)v(0) արտադրյալը գտնվում է միայն առաջին գումարի մեջ (երբ i=0), որտեղ նրա գործակիցն է Cn0=1: Ճիշտ այդպես էլ, u(0)v(n+1)-ն էլ գտնվում է միայն երկրորդ գումարի մեջ (i=n համար ունեցող գումարի մեջ), որի գործակիցն է Cnn=1: Մնացած բոլոր արտադրյալները, որոնք գտնվում են այդ գումարների մեջ, ունեն u(n+1-k)v(k) տեսքը, ընդ որում 1≤k≤n: Յուրաքանչյուր այդպիսի արտադրյալ հանդիպում է թե առաջին գումարի (i=k համար ունեցող գումարելին) և թե երկրորդ գումարի (i=k-1 համար ունեցող գումարելին) մեջ։ Համապատասխան գործակիցների գումարը կլինի Cnk+Cnk-1: Բայց ինչպես հայտնի է, Cnk+Cnk-1=Ckn+1:

Այսպիսով, վերջնականապես ստանում ենք՝

\[y^{(n+1)}=u^{(n+1)}v^{(0)}+\sum_{k=1}^n C_{n+1}^ku^{(n+1-k)}v^{(k)}+u^{(0)}v^{(n+1)}=\]

\[=\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ku^{(n+1-k)}v^{(k)}\]

որովհետև

\[C_{n+1}^0=C_{n+1}^{n+1}=1\]

y(n+1)-ի համար ստացանք մի արտահայտություն, որը մեր արտահայտության լրիվ անալոգն է, միայն n-ը փոխարինված է (n+1)-ով։ Հենց սրանով ապացուցվում է մեր բանաձևի իրավացիությունն n-ի բոլոր բնական արժեքների համար։

Ստացված բանաձևը կոչվում է Լայբնիցի բանաձև անունը։ Նա հաճախ է օգտակար լինում n-րդ կարգի ածանցյալի համար ընդհանուր արտահայտություններ արտածելիս։

Նկատենք, որ նման բանաձև կարելի էր ստանալ նաև մի քանի արտադրիչների y=u⋅v⋅...⋅t արտադրյալի n-րդ կարգի ածանցյալի համար, դա նման կլինի (u+v+...+t)n բազմանդամի բացումից ստացված արտահայտությանը։

Free Joomla! templates by AgeThemes