Բարձր կարգի դիֆերենցիալներ

    Այժմ անցնենք բարձր կարգի դիֆերենցիալներին․ նրանք նույնպես սահմանվում են ինդուկտիվ եղանակով։ y=f(x) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ կամ երկրորդ դիֆերենցիալ տրված որևէ կետում, կոչվում է նրա (առաջին) դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը նույն կետում․ նշանակում են՝

    \[d^2y=d(dy):\]

    Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ կամ երրորդ դիֆերենցիալ կոչվում է երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝
    \[d^3=d(d^2y)\]

    Ընդհանրապես, y=f(x) ֆունկցիայի n-րդ կարգի դիֆերենցիալ կոչվում է նրա (n-1) -րդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝
    \[d^ny=d \left( d^{n-1}y \right) :\]

    Եթե օգտվենք ֆունկցիոնալ նշանակումներից, ապա հաջորդական դիֆերենցիալները կարող են նշանակվել այսպես՝
    \[d^2f(x_0), d^3f(x_0), …, d^nf(x_0), …,\]

    ընդ որում հնարավոր է լինում նշել այն x=x0 մասնավոր արժեքը, որի դեպքում վերցվում են դիֆերենցիալները։

    Բարձր կարգի դիֆերենցիալներ հաշվելիս շատ կարևոր է հիշել այն, որ dx-ը կամայական և x-ից անկախ թիվ է․ ըստ x-ի դիֆերենցման ժամանակ այն պետք է դիտել որպես հաստատուն արտադրիչ։ Այդ ժամանակ կունենանք (միշտ ենթադրելով, որ համապատասխան ածանցյալները գոյություն ունեն)՝

    \[d^2y=d(dy)=d(y'⋅dx)=dy'⋅dx=(y''⋅dx)⋅dx=y''⋅dx^2,\]

    \[d^3y=d(d^2y)=d(y''⋅dx^2)=dy''⋅dx^2=(y'''dx)⋅dx^2=y'''dx^3\]

    և այլն։ Հեշտությամբ կռահվող ընդհանուր օրենքը՝
    \[d^ny=y^{(n)}dx^n\]

    ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։ Այդ օրենքից հետևում է, որ
    \[y^{(n)}=\frac{d^ny}{dx^n},\]

    ուստի սրանից հետո վերոհիշյալ սիմվոլը կարելի է դիտել որպես կոտորակ։

    Օգտվելով dny=y(n)dxn հավասարությունից, այժմ արդեն հեշտ է Լայբինցի բանաձևը գրել դիֆերենցիալների միջոցով։ Բավական է միայն այդ բանաձևի երկու մասը բազմապատկել dxn-ով, որպեսզի ստացվի՝

    \[d^n(u⋅v)=\sum_{i=0}^n C_n^id^{n-i}u⋅d^iv\quad (d^0u=u, \quad d^0v=v)\]

    Լայբինցն ինքն իր բանաձևն ստացել է հենց այս տեսքով։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru