Օգտվողներ
39
Հոդվածներ
138
Հոդվածների այցերի քանակը
63409

Ձևի անփոփոխականության խախտումը բարձր կարգի դիֆերենցիալների համար

Հիշելով, որ ֆունկցիայի (առաջին) դիֆերենցիալը օժտված է ձևի անփոփոխականության կատկությամբ, բնական կլինի, եթե առաջադրենք հետևյալ հարցը․ արդյոք բարձր կարգի դիֆերենցիալները նույնպես օժտված են այդ հատկությամբ, թե ոչ։ Օրինակով ցույց տանք, որ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն այլևս այդ հատկությունը չունի։

Դիցուք y=f(x) և x=φ(t), այնպես, որ y-ը կարելի է դիտարկել որպես t-ի բարդ ֆունկցիա՝y=f(φ(t))։ Սրա առաջին դիֆերենցիալը ըստ t-ի կարելի է գրել dy=y'x⋅dx ձևով, որտեղ dx=x't ⋅dt և t-ի ֆունկցիա է։ Հաշվենք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն ըստ t-ի՝

\[d^2y=d(y'_x⋅dx)=dy'_x⋅dx+y'_x⋅d(dx):\]

dy'x դիֆերենցիալը, օգտվելով (առաջին) դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխականությունից, կարելի է գրել dy'x=y''x⋅dx ձևով, ուստի վերջնականապես կստանանք՝

\[d^2y=y''_x⋅dx^2+y'_x⋅d^2x\]

մինչդեռ, երբ x-ը անկախ փոփոխական էր, երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն ուներ

\[d^2y=y''_{x^2}⋅dx^2\]

տեսքը։ Իհարկե,

\[d^2y=y''_x⋅dx^2+y'_x⋅d^2x\]

արտահայտությունը d2y-ի համար հանդիսանում է ավելի ընդհանուր արտահայտություն․ եթե, մասնավորապես, x-ը անկախ փոփոխական է, ապա d2x=0 և կմնա միայն առաջին անդամը։

Օրինակ։ Դիցուք y=x2, այնպես որ քանի դեռ x-ը անկախ փոփոխական է՝

\[dy=2xdx, \quad d^2x=2dx^2:\]

Այժմ ընդունենք x=t2. այդ ժամանակ y=t4, և

\[dy=4t^3dt, \quad d^2y=12t^2dt^2:\]

dy-ի նոր արտահայտությունը կարելի է ստանալ նաև նախորդից, եթե այնտեղ տեղադրենք x=t2, dx=2t⋅dt: Սակայն d2y-ի մեջ եթե կատարենք նույնպիսի դեղադրություն, 12t2⋅dt2 ու փոխարեն կստանանք 8t2⋅dt2: Իսկ եթե ըստ t-ի դիֆերենցենք dy=2x⋅dt հավասարությունը, x-ը համարելով t-ի ֆունկցիա, ապա մեր վերը ստացվածի նման, կստանանք՝

\[d^2y=2dx^2+2x⋅d^2x\]

բանաձևը։ Սրա մեջ տեղադրելով x=t2, dx=2t⋅dt, d2x=2dt2, արդեն կստանանք ճիշտ արդյունք՝ 12t2dt2:

Ուրեմն, երբ x-ը դադարում է լինել անկախ փոփոխական, այդ դեպքում d2y երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն x-ի դիֆերենցիալի միջոցով արտահայտվում է

\[d^2y=d(y'_x⋅dx)=dy'_x⋅dx+y'_x⋅d(dx):\]

երկանդամ բանաձևով։ Երրորդ և ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալների համար լրացուցիչ անդամների թիվը (երբ անցնում ենք նոր անկախ փոփոխականի) ավելի մեծանում է։ Այդ պատճառով էլ,

\[y''_{x^2},\quad y'''_{x^3}, ...\]

բարձր կարգի ածանցյալների՝ դիֆերենցիալներով գրված՝

\[y''_{x^2}=\frac{d^2x}{dx^2} \quad y'''=\frac{d^3y}{dx^3}, … \]

արտահայտությունների մեջ արդեն չի կարելի դիֆերենցիալները վերցնել ըստ ցանկացած փոփոխականի, այլ միայն ըստ x-ի։

Free Joomla! templates by AgeThemes