Հոդվածների այցերի քանակը
104506

Վերջավոր աճերի Լագրանժի թեորեման

Անցնենք Ռոլլի թեորեմայի անմիջական հետևանքներին։ Դրանցից առաջինը վերջավոր աճերի թեորեման է, որը պատկանում է Լագրանժին։

Լագրանժի վերջավոր աճերի թեորեման։ Դիցուք 1) f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, 2) գոյություն ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ առնվազն (a, b) բաց միջակայքում։ Այդ դեպքում a-ի և b-ի միջև կգտնվի այնպիսի c (a<c<b) կետ, որ նրա համար տեղի կունենա հետևյալ հավասարությունը՝

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c):\]

Ապացուցում։ Մուծենք մի օժանդակ ֆունկցիա, որը [a, b] միջակայքում որոշվում է այսպես՝

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a):\]

Այս ֆունկցիան բավարարում է Ռոլլի թեորեմայի բոլոր պայմաններին։ Իրոք, նա [a,b]-ում անընդհատ է, որովհետև իրենից ներկայացնում է f(x) անընդհատ ֆունկցիայի և գծային ֆունկցիայի տարբերություն։ (a, b)-ում նա ունի որոշակի վերջավոր ածանցյալ, որը հավասար է՝

\[F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}:\]

Վերջապես, անմիջական տեղադրության միջոցով համոզվում ենք, որ F(a)=F(b)=0, այսինքն՝ F(x) ֆունկցիան միջակայքի ծայրակետերում ընդունում է հավասար արժեքներ։

Հետևապես, F(x) ֆունկցիայի նկատմամբ կարելի է կիրառել Ռոլլի թեորեման և համոզվել, որ (a, b)-ում այդպիսի c կետ գոյություն ունի, որտեղ F'(c)=0: Այսպիսով կունենանք՝

\[f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,\]

որտեղից՝
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

որը և պահանջվում էր ապացուցել։

Ռոլլի թեորեման հանդիսանում է լագրանժի թեորեմայի մասնավոր դեպքը։ Այն դիտողությունները, որոնք վերևում արվեցին այդ թեորեմայի 1) և 2) պայմանների նկատմամբ, իրենց ուժը պահպանում են նաև այստեղ։

գծագիր 40

Դիմելով Լագրանժի թեորեմայի երկրաչափական մեկնաբանմանը (գծագիր 40), նկատենք, որ

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{CB}{AC}\]

հարաբերությունը AB հատողի անկյունային գործակիցն է, իսկ f'(c) ածանցյալը՝ y=f(x) կորին x=c աբսցիս ունեցող կետում տարած շոշափողի անկյունային գործակիցը։ Այսպիսով, Լագրանժի թեորեմայի պնդումը համարժեք է հետևյալին․ AB աղեղի վրա միշտ կգտնվի առնվազն մեկ M կետ, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է AB լարին։

Ապացուցված՝

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \quad f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a)\]

բանաձևը կոչվում է Լագրանժի բանաձև կամ վերջավոր աճերի բանաձև։ Նա, ակներևաբար, տեղի ունի նաև այն դեպքում, երբ a>b:

[a, b] միջակայքում վերցնենք ցանկացած x0 արժեք և նրան տանք այնպիսի Δx≠0 աճ, որը նրան այդ միջակայքից դուրս չի բերում։ Լագրանժի բանաձևը կիրառենք [x0, x0+Δx] միջակայքի նկատմամբ, երբ Δx>0, կամ [x0+Δx, x0] միջակայքի նկատմամբ, երբ Δx<0։ Այդ դեպքում լագրանժի բանաձևը կնդունի այսպիսի տեսք՝

\[\frac{f(x_0 +Δx)-f(x_0)}{Δx}=f'(c)\]

կամ՝
\[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)=f'(c)Δx:\]

c թիվը, որն այս դեպքում գտնվում է x0-ի և (x+Δx)-ի միջև, կարելի է ներկայացնել այսպես՝

c=x0+θ⋅Δx, որտեղ 0<θ<1:

Այս

\[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)=f'(c)Δx:\]

հավասարությունը, որը տալիս է ճշգրիտ արտահայտություն ֆունկցիայի աճի համար արգումենտի ցանկացած Δx վերջավոր աճի դեպքում, բնականաբար հակադրվում է
\[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)≈f'(x_0)Δx:\]

մոտավոր հավասարությանը, որի հարաբերական սխալը ձգտում է զրոյի միայն անվերջ փոքր Δx-ի դեպքում։ Հենց այստեղից էլ ծագում է «վերջավոր աճերի» վերաբերյալ հիշատակումը բանաձևի (և թեորեմայի) անվանման մեջ։

Լագրանժի բանաձևի համար թերությունն է այն, որ նրա մեջ մասնակցում է մեզ անհայտ c (կամ θ) թիվը։ Այդ չի խանգարում, սակայն, նրա բազմազան կիրառություններին անալիզում։

Վերջին ավելացված նյութերը

Դեկտեմբերի 01 2019
Հոկտեմբերի 30 2019
Հոկտեմբերի 14 2019

 

Ստեղծել վեբ կայք ukit համակարգում

Free Joomla! templates by AgeThemes