Վերջավոր աճերի Լագրանժի թեորեման

    Անցնենք Ռոլլի թեորեմայի անմիջական հետևանքներին։ Դրանցից առաջինը վերջավոր աճերի թեորեման է, որը պատկանում է Լագրանժին։

    Լագրանժի վերջավոր աճերի թեորեման։ Դիցուք 1) f(x) ֆունկցիան որոշված ու անընդհատ է [a, b] փակ միջակայքում, 2) գոյություն ունի f'(x) վերջավոր ածանցյալ առնվազն (a, b) բաց միջակայքում։ Այդ դեպքում a-ի և b-ի միջև կգտնվի այնպիսի c (a<c<b) կետ, որ նրա համար տեղի կունենա հետևյալ հավասարությունը՝

    \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c):\]

    Ապացուցում։ Մուծենք մի օժանդակ ֆունկցիա, որը [a, b] միջակայքում որոշվում է այսպես՝

    \[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a):\]

    Այս ֆունկցիան բավարարում է Ռոլլի թեորեմայի բոլոր պայմաններին։ Իրոք, նա [a,b]-ում անընդհատ է, որովհետև իրենից ներկայացնում է f(x) անընդհատ ֆունկցիայի և գծային ֆունկցիայի տարբերություն։ (a, b)-ում նա ունի որոշակի վերջավոր ածանցյալ, որը հավասար է՝

    \[F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}:\]

    Վերջապես, անմիջական տեղադրության միջոցով համոզվում ենք, որ F(a)=F(b)=0, այսինքն՝ F(x) ֆունկցիան միջակայքի ծայրակետերում ընդունում է հավասար արժեքներ։

    Հետևապես, F(x) ֆունկցիայի նկատմամբ կարելի է կիրառել Ռոլլի թեորեման և համոզվել, որ (a, b)-ում այդպիսի c կետ գոյություն ունի, որտեղ F'(c)=0: Այսպիսով կունենանք՝

    \[f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,\]

    որտեղից՝
    \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

    որը և պահանջվում էր ապացուցել։

    Ռոլլի թեորեման հանդիսանում է լագրանժի թեորեմայի մասնավոր դեպքը։ Այն դիտողությունները, որոնք վերևում արվեցին այդ թեորեմայի 1) և 2) պայմանների նկատմամբ, իրենց ուժը պահպանում են նաև այստեղ։

    գծագիր 40

    Դիմելով Լագրանժի թեորեմայի երկրաչափական մեկնաբանմանը (գծագիր 40), նկատենք, որ

    \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{CB}{AC}\]

    հարաբերությունը AB հատողի անկյունային գործակիցն է, իսկ f'(c) ածանցյալը՝ y=f(x) կորին x=c աբսցիս ունեցող կետում տարած շոշափողի անկյունային գործակիցը։ Այսպիսով, Լագրանժի թեորեմայի պնդումը համարժեք է հետևյալին․ AB աղեղի վրա միշտ կգտնվի առնվազն մեկ M կետ, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է AB լարին։

    Ապացուցված՝

    \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \quad f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a)\]

    բանաձևը կոչվում է Լագրանժի բանաձև կամ վերջավոր աճերի բանաձև։ Նա, ակներևաբար, տեղի ունի նաև այն դեպքում, երբ a>b:

    [a, b] միջակայքում վերցնենք ցանկացած x0 արժեք և նրան տանք այնպիսի Δx≠0 աճ, որը նրան այդ միջակայքից դուրս չի բերում։ Լագրանժի բանաձևը կիրառենք [x0, x0+Δx] միջակայքի նկատմամբ, երբ Δx>0, կամ [x0+Δx, x0] միջակայքի նկատմամբ, երբ Δx<0։ Այդ դեպքում լագրանժի բանաձևը կնդունի այսպիսի տեսք՝

    \[\frac{f(x_0 +Δx)-f(x_0)}{Δx}=f'(c)\]

    կամ՝
    \[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)=f'(c)Δx:\]

    c թիվը, որն այս դեպքում գտնվում է x0-ի և (x+Δx)-ի միջև, կարելի է ներկայացնել այսպես՝

    c=x0+θ⋅Δx, որտեղ 0<θ<1:

    Այս

    \[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)=f'(c)Δx:\]

    հավասարությունը, որը տալիս է ճշգրիտ արտահայտություն ֆունկցիայի աճի համար արգումենտի ցանկացած Δx վերջավոր աճի դեպքում, բնականաբար հակադրվում է
    \[Δf(x_0)=f(x_0 +Δx)-f(x_0)≈f'(x_0)Δx:\]

    մոտավոր հավասարությանը, որի հարաբերական սխալը ձգտում է զրոյի միայն անվերջ փոքր Δx-ի դեպքում։ Հենց այստեղից էլ ծագում է «վերջավոր աճերի» վերաբերյալ հիշատակումը բանաձևի (և թեորեմայի) անվանման մեջ։

    Լագրանժի բանաձևի համար թերությունն է այն, որ նրա մեջ մասնակցում է մեզ անհայտ c (կամ θ) թիվը։ Այդ չի խանգարում, սակայն, նրա բազմազան կիրառություններին անալիզում։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru