Թեյլորի բանաձևը։ Կամայական ֆունկցիայի վերլուծումը

    Այժմ անցնենք կամայական f(x) ֆունկցիայի դիտարկմանը, որն ընդհանրապես ամբողջ բազմանդամ չէ, բայց որոշված է մի x միջակայքում։ Ենթադրենք, թե մի x0 կետում (X-ից) այդ ֆունկցիայի համար գոյություն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ, մինչև n-րդը ներառյալ։ Ավելի ճշգրիտ ասած, այդ նշանակում է, որ ֆունկցիան որոշված է և ունի բոլոր կարգի ածանցյալներ, մինչև (n-1)-րդը ներառյալ՝


    \[f'(x), f''(x), …, f^{(n-1)}(x)\]

    x0 կետի մի որոշ շրջակայքում, և, բացի այդ, n-րդ կարգի f(n)(x0) ածանցյալ ունի հենց x0 կետում։ Այդ ժամանակ, նախորդ դասի օրինակով, f(x) ֆունկցիայի համար ևս կարելի է կազմել այսպիսի բազմանդամ՝
    \[p_n(x)=f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n:\]

    Համաձայն նախորդ դասի դիտողության, այս բազմանդամն ու նրա ածանցյալները (մինչև n-րդը ներառյալ) x0 կետում ունեն նույն ածանցյալները, ինչ որ f(x) ֆունկցիան ու նրա ածանցյալները։

    Սակայն այս անգամ, եթե միայն f(x)-ը n-րդ աստիճանի ամբողջ ֆունկցիան չէ, արդեն չի կարելի պնդել, որ տեղի ունի f(x)=pn(x) հավասարությունը։

    pn(x) բազմանդամը տալիս է միայն f(x) ֆունկցիայի մի որոշ մոտավորությունը, որի օգնությամբ էլ հենց կարելի է այդ ֆունկցիան հաշվել մի որոշ ճշգրտությամբ։ Այդ կապակցությամբ հատուկ հետաքրքրություն է ստանում

    \[r_n(x)=f(x)-p_n(x)\]

    կամ
    \[r_n(x)=f(x)-f(x_0)-\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)-...-\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

    տարբերության գնահատականը X-ից վերցրած տվյալ x-ի և տվյալ n-ի համար։

    rn(x)-ի համար գրված արտահայտությունն այդ նպատակին չի կարող ծառայել։ Որպեսզի հետազոտության համար ավելի հարմար տեսքով ներկայացնենք այն, մենք պետք է f(x) ֆունկցիայի նկատմամբ առաջադրենք ավելի խիստ պայմաններ, քան այն պայմանները, որոնք անմիջականորեն հարկավոր էն pn(x) բազմանդամը կազմելու համար։ Այն է՝ այսուհետև մենք ենթադրելու ենք, որ f(x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում գոյություն ունեն բոլոր ածանցյալները մինչև (n+1)-րդ կարգին ներառյալ՝

    \[f'(x), f''(x), …, f^{(n)}(x), f^{(n+1)}(x):\]

    Այժմ X միջակայքից վերցնենք մի ցանկացած x արժեք և այն սևեռենք (պահպանենք հաստատուն)։ Այնուհետև
    \[r_n(x)=f(x)-f(x_0)-\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)-...-\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

    բանաձևի աջ մասի օրինակով, x0 հաստատուն թիվը փոխարինելով z փոփոխականով, կազմենք մի նոր, օժանդակ ֆունկցիա`
    \[φ   (z)=f(x)-f(z) - \frac{f'(z)}{1!}(x-z)-\frac{f''(z)}{2!}(x-2)^2-...-\frac{f^{(n)}(z)}{n!}(x-z)^n, \]

    ընդ որում ընդունում ենք, որ z անկախ փոփոխականը փոփոխվում է [x0, x] միջակայքում։ Այդ միջակայքում φ(z) ֆունկցիան անընդհատ է և նրա ծայրակետերում ընդունում է հետևյալ արժեքները՝
    \[φ (x_0)=r_n(x), \quad φ(x)=0:\]

    Բացի այդ, (x0, x) միջակայքում գոյություն ունի նրա ածանցյալը՝
    \[φ  '(z)=-f'(z)-\left[ \frac{f''(z)}{1!}(x-z)-f'(z) \right]-\]

    \[-\left[ \frac{f'''(z)}{2!}(x-z)^2- \frac{f''(z)}{1!}(x-z)\right]-\]

    \[-\left[\frac{f^{IV}(z)}{3!}(x-z)^3 - \frac{f'''(z)}{2!}(x-z)^2\right]-\]

    \[...................\]

    \[-\left[ \frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n -\frac{f^{(n)}(z)}{(n-1)!}(x-z)^{n-1} \right]\]

    կամ, պարզեցնելուց հետո՝
    \[φ '(z)=-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n:\]

    Եթե վերցնենք մի որևէ ψ(z) ֆունկցիա ևս, որը [x0, x] միջակայքում անընդհատ է և (x0, x) բաց միջակայքում ունի զրո չդարձող ψ'(z) ածանցյալ, ապա φ(z) և ψ(z) ֆունկցիաների նկատմամբ կարելի է կիրառել Կոշիի բանաձևը`
    \[\frac{φ (x)-φ (x_0)}{ψ(x)-ψ(x_0)}=\frac{φ (c)}{ψ(c)}\]

    որտեղ с-ն գտնվում է x0-ի և x-ի միջև, այսինքն՝
    \[c=x_0 + θ(x-x_0) \quad (0<θ<1)\]

    Հաշվի առնելով մեր ստացած
    \[φ '(z)=-\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n:\]

    նախորդ հավասարությունից կգտնենք՝
    \[r_n(x)=\frac{ψ(x)-ψ(x_0)}{ψ'(c)} \cdot \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n:\]

    ψ(z) ֆունկցիան նախ ընտրենք այսպես՝
    \[ψ(z)=(x-z)^{(n+1)},\]

    որի համար բավարարվում են վերևում ձևակերպված պայմանները։
    Ունենք՝
    \[ψ(x_0)=(x-x_0)^{n+1}, \quad ψ(x)=0, \quad  ψ'(c)=(n+1)(x-c)^n:\]

    Դրանք տեղադրելով rn-ի բանաձևում, վերջնականապես կստանանք՝
    \[r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}:\]

    Այժմ հաշվի առնելով rn-ի համար ստացված երկու հավասարությունները, f(x) ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ բանաձևով՝
    \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\]

    \[+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]

    որը բազմանդամի համար ստացած Թեյլորի բանաձևից տարբերվում է հենց վերջին գումարելին հանդիսացող լրացուցիչ անդամի առկայությամբ։

    Մեր ստացած լրացուցիչ անդամի ձևը Լագրանժին է պատկանում․ ալդ տեսքով լրացուցիչ անդամը հիշեցնում է Թեյլորի բանաձևի հաջորդ հերթական անդամը, միայն փոխանակ (n+1)-րդ ածանցյալը հաշվելու x0 կետում, այդ ածանցյալը վերցրած է x0-ի և x-ի միջև գտնվող մի c միջանկյալ արժեքի համար։

    \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\]

    \[+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]

    բանաձևն անվանում են Թեյլորի բանաձև՝ լագրանժյան ձևի լրացուցիչ անդամով։ Եթե այդ բանաձևում f(x0)-ն տեղափոխենք ձախ մասը և նշանակենք x-x0=Δx, ապա այն կարտահայտվի այսպես՝
    \[Δf(x_0)=f(x_0+Δx)-f(x_0)=\frac{f'(x_0)}{1!}Δx+\frac{f''(x_0)}{2!}Δx^2+...\]

    \[+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}Δx^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}Δx^{n+1}:\]

    Այս տեսքով նա ուղղակի ընդհանրացումն է վերջավոր աճերի
    \[Δf(x_0)=f(x_0+Δx)-f(x_0)=f'(c)Δx\]

    բանաձևի, որը համապատասխանում է n=0 դեպքին։

    Թեպետև լրացուցիչ անդամը լագրանժյան տեսքով այնքան պարզ է, որ ավելին սպասել չի էլ կարելի, բայց, այնուամենայնիվ, առանձին դեպքերում այդ ձևը պիտանի չէ լրացուցիչ անդամի գնահատման համար և հարկավոր է լինում դիմելու այլ, պակաս չափով պարզ ձևերի։ Դրանցից այստեղ հիշատակենք Կոշիի ձևը, որը

    \[r_n(x)=\frac{ψ(x)-ψ(x_0)}{ψ'(c)} \cdot \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n:\]

    արտահայտությունից ստացվում է, երբ ψ(z)=x-z: Այս դեպքում՝
    \[ψ(x_0)=x-x_0, \quad ψ(x)=0, \quad ψ'(c)=-1\]

    և, քանի որ՝
    \[(x-c)^n=[x-x_0 – θ(x-x_0)]^n=(1-θ)^n(x-x_0)^n,\]

    ուստի հանգում ենք այսպիսի վերջնական արտահայտության՝
    \[r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0 +θ(x-x_0))}{n!}(1-θ)^n(x-x_0)^{n+1}\]

    Չնայած (լագրանժյան ձևի հետ համեմատած) (n+1) բազմապատկիչի կորստին հայտարարում, այս ձևը ավելի ձեռնտու է հենց (1-θ)n բազմապատկիչի առկայության շնորհիվ։

    Թեյլորի բանաձևը, նշված ձևից այս կամ այն ձևով գրված լրացուցիչ անդամով, ինչպես տեսնում ենք, միջին արժեքների թեորեմների մի տարատեսակն է, այստեղ նույնպես մասնակցում է c կամ θ։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru