Թեյլորի բանաձևի լրացուցիչ անդամի այլ ձև

    Թեյլորի բանաձևի լրացուցիչ անդամի նախոևդ դասում արտածված ձևերը կիրառվում են այնպիսի դեպքերում, երբ x-ի այս կամ այն տրված արժեքի (x0-ից տարբեր) համար, ցանկանում ենք f(x) ֆունկցիան մոտավորապես փոխարինել pn(x) բազմանդամով և թվապես գնահատել այդ ժամանակ առաջացող սխալը։

    Սակայն դեպքեր են լինում, երբ մեզ չեն հետաքրքրում x-ի առանձին արժեքները, այլ մեզ համար կարևոր է լոկ լրացուցիչ անդամի վարքը x-ը x0-ին ձգտելիս, ավելի ճիշտ ասած՝ նրա փոքրության կարգը։ Այդ կարգի հարցը կարելի է պարզել նույնիսկ որոշ չափով ավելի թույլ պայմանների դեպքում, քան վերևում ենթադրել էինք։ Այն է՝ ենթադրենք միայն

    \[f'(x), \quad f''(x),..., \quad f^{(n)}(x)\]

    հաջորդական n ածանցյալների գոյությունը x0 կետի շրջակայքում (երկկողմյան կամ միակողմյան) և դրանցից վերջինի անընդհատությունը x0 կետում։

    Այդ դեպքում Թեյլորի բանաձևում n-ը փոխարինելով n-1 ով, կարող ենք գրել՝

    \[f(x) =f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+ \frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+ \frac{f^{n}(c)}{n!}(x-x_0)^n\]

    որտեղ c-ն գտնվում է x0-ի և x-ի միջև։ Վերջին անդամում նշանակենք՝
    \[\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \alpha (x):\]

    Քանի որ, երբ x->x0 նաև c->x0, այնպես որ (անընդհատության շնորհիվ)
    \[f^{(n)}(c) \to f^{(n)}(x_0) \quad => \quad \alpha (x) \to 0, \quad \alpha (x) \cdot (x-x_0)^n = o((x-x_0)^n):\]

    Վերջնականապես ստանում ենք՝
    \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0) + o ((x-x_0)^n):\]

    Այսպիսով այս անգամ մնացորդային անդամը կլինի՝
    \[r_n(x)=o((x-x_0)^n),\]

    Այսինքն՝ լրացուցիչ անդամի վերաբերյալ մենք այստեղ միայն այն գիտենք, որ հաստատուն n-ի դեպքում, երբ x->x0, նա կլինի (x-x0)-ի նկատմամբ n-րդից բարձր կարգի անվերջ փոքր, չնայած կարևոր է և այդ ընդգծել, մենք ոչինչ չգիտենք նրա արժեքի մասին x-ի և ոչ մի սևեռյալ (տրված) արժեքի դեպքում։ Լրացուցիչ անդամի
    \[r_n(x)=o((x-x_0)^n),\]

    ձևը ցույց է տվել Պեանոն։

    Մենք տեսնում ենք, որ

    \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0) + o ((x-x_0)^n):\]

    բանաձևն իրոք որոշակիորեն «լոկալ» (տեղային) բնույթ ունի, բնութագրելով սոսկ ֆունկցիայի վարքը x-ը x0-ին ձգտելիս։

    Եթե այդ բանաձևում նորից f(x0)-ն տեղափոխենք ձախ մասը և նշանակենք x-x0=Δx, ապա կհանգենք հետևյալ վերլուծությանը՝

    \[Δf(x_0)=f'(x_0)Δx + \frac{f''(x_0)}{2!}Δx^2 +...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}Δx^n +o(Δx^n),\]

    որը ֆունկցիայի աճի բանաձևի դասում ստացած՝
    \[Δf(x_0)=f'(x_0)Δx +o(Δx)\]

    բանաձևի ընդհանրացումն է․ այն ստացվում է n=1 դեպքում։

    Երբեմն հարմար է լինում

    \[\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \alpha (x):\]

    նշանակման փոխարեն նշանակել պարզապես՝
    \[f^{(n)}(c)=f^{(n)}(x_0)+ \alpha (x)\]

    այստեղ նույնպես α(x)->0, երբ x->x0, իսկ Թեյլորի բանաձևը Պեանոի ձևով լրացուցիչ անդամով կգրվի այսպես՝
    \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0) + \alpha (x)}{n!}(x-x_0)^n\]

    Վերջում մի դիտողություն ևս անենք։ Եթե Թեյլորի բանաձևում x-x0=Δx-ը փոխարինենք dx-ով և հիշենք, որ՝
    \[f'(x_0)dx=df(x_0), \quad f''(x_0)dx^2=d^2f(x_0), …,\quad f^{(n)}(x_0)dx^n=d^nf(x_0),\quad f^{(n+1)}(c)dx^{n+1}=d^{n+1}f(c),\]

    ապա, այս արտահայտությունները տեղադրելով, վերոհիշյալ վերլուծությունները կներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝
    \[Δf(x_0)=df(x_0)+\frac 1{2!}d^2f(x_0)+...+\frac 1{n!}d^nf(x_0)+\frac 1{(n+1)!}d^{n+1}f(c)\]

    \[(c=x_0+θΔx, \quad 0<θ<1)\]

    կամ՝
    \[Δf(x_0)=df(x_0)+\frac 1{2!}d^2f(x_0)+...+\frac 1{n!}d^nf(x_0) + o(Δx^n):\]

    Այսպիսով, եթե ենթադրենք, որ Δx->0, ապա այս բանաձևերով ֆունկցիայի Δf(x0) անվերջ փոքր աճից առանձնացվում է ոչ միայն նրա գլխավոր մասը՝ առաջին ֆիդերենցիալը, այլև ավելի բարձր կարգի փոքրագույն անդամներ, որոնք, հայտարարներում գտնվող ֆակտորյալների ճշգրտությամբ, համընկնում են հաջորդական բարձր կարգի
    \[d^2f(x_0),…,d^nf(x_0)\]

    դիֆերենցիալների հետ։

    Կայքը հովանավորվում է մաթեմատիկայի նախկին ուսուցիչ Հարություն Սարգսյանի կողմից

    2019 www.alphazero.ru